Análise complexa/Funções holomorfas

Diferenciabilidade

Dizemos que uma função $f:A\rightarrow \mathbb {C}$ é diferenciável no ponto $z_{0}$, quando $z_{0}$ é um ponto interior de $A$ e existe o limite

$\lim _{z\rightarrow z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$

Neste caso, tal limite é chamado de derivada complexa de $f$ no ponto $z_{0}$, ou simplesmente derivada de $f$ em $z_{0}$, e denotado por $f'(z_{0})$.

Verifica-se facilmente que a derivada de $f$ em $z_{0}$ também pode ser escrita como

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(z+h)-f(z_{0})}{h}}$

A função $f$ é dita diferenciável sobre $A$ quando este conjunto é aberto, e $f$ é diferenciável em todo ponto do conjunto.

Tem-se como consequencia imediata da definição que

Se $f$ é diferenciável em um ponto $z_{0}$, então $f$ é também contínua neste ponto.

Demonstração

Deixada a cargo do leitor. Sinta-se a vontade para enriquecer este texto acrescentando a demonstração.

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