Análise real/Convergência pontual

O conceito de convergência de funções é fundamental para a análise real. O critério de convergência pontual, também chamado de convergência ponto a ponto ou convergência simples é um dos muitos critérios diferentes de convergências para uma família de funções.

Definição

Seja $D\in \mathbb {R}$ um conjunto e $f_{n}:D\to \mathbb {R} \,$ uma seqüência de funções reais definidas no domínio $D\,$.

Diz que $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,$ converge quando existe uma função $f:D\to \mathbb {R} \,$ tal que para cada ponto $x\in D\,$ a seqüência numérica $f_{n}(x)\,$ converge para $f(x)\,$. Ou, na notação de limites:

• $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x),~~\forall x\in D\,$

Equivalentemente, diz-se que $\{f_{n}\}\,$ converge para $f\,$ em $D\,$ se para todo $\varepsilon >0\,$ e todo $x\in D\,$ existe um $N\,$ tal que

• $\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,~~\forall n\geq N\,$

Exemplos

Exemplo 1

Seja a seguinte seqüência de funções:

• $f_{n}(x)={\frac {x}{n}},~x\in \mathbb {R} ,~~n=1,2,3,\ldots \,$

É fácil ver que:

• $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0$

Exemplo 2

Deve-se observar que o limite pontual de funções contínuas não é necessariamente uma função contínua. Um exemplo deste fenômeno pode ser observado na seguinte seqüência de funções:

• $f_{n}(x)={\frac {1}{1+|x|^{n}}},~x\in \mathbb {R} ,~~n=1,2,3,\ldots \,$

cujo limite é dado por:

• $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{rl}1,&|x|<1\\1/2,&|x|=1\\0,&|x|>1\end{array}}\right.$

Exemplo 3

Algumas seqüências de funções podem ter um comportamento bastante peculiar, como a seguinte:

• $f_{n}(x)=\cos ^{2n}(m!\pi x)~x\in \mathbb {R} ,~~n=1,2,3,\ldots \,$

cujo limite é dado por:

• $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{rl}1,&m!x\in \mathbb {Z} \\0,&{\hbox{c.c.}}\end{array}}\right.$

Exemplo 4

Veja mais um exemplo peculiar de convergência:

• $f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{rl}0,x<n\\1,x\geq n\end{array}}\right.$