Análise real/Limites

Definição

Lembrar que uma função de um conjunto X para um conjunto Y é uma aplicação $f:X\mapsto Y$ tais que f(x) é o único elemento de Y para cada $x\in X$. Na análise, temos tendência para falar de funções a partir de subconjuntos $A\subseteq \mathbb {R}$ para $\mathbb {R}$.

A definição para o limite de uma função é quase a mesma que a definição de uma seqüência. De fato, como veremos mais adiante, é possível definir limites funcionais, em termos de limites seqüenciais. Para o momento, porém, vamos apenas dar a definição:

Dado um subconjunto $A\subset \mathbb {R}$ e uma função $f:A\mapsto \mathbb {R}$, nós dizemos que o $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L,\;se\;\forall \;\epsilon >0,\exists \delta >0;\forall x\in D_{f},0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$

A exigência $0<|x-c|\;$ é um pouco técnico. É uma expressão que da a idéia de que o comportamento de uma função perto de um ponto não deve ser prejudicado pelo seu comportamento no ponto. Desta forma f(x) não precisa ser definida em c para ter um limite aí.

Esta definição dá um monte de problemas para um monte de gente, por isso é melhor passar algum tempo intrigante com isso, exemplos de trabalho, etc. Uma forma de conceituar a definição é esta: $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$ significa que nós podemos fazer f(x) tão próximo quanto gostarmos de L, fazendo x perto de c.

Limite em um ponto de acumulação

Sejam $f:A\to \mathbb {R} \;$ uma função definida em um conjunto $A\subseteq \mathbb {R} \;$ e $x_{0}\in A'\;$. Diz-se que existe o limite de $f(x)\,$ quando $x\,$ tende a $x_{0}\,$ e denota-se por:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)\,$

quando existe um $L\in \mathbb {R} \,$ com a propriedade de que, para todo $\varepsilon >0\,$, existe um $\delta >0\,$ tal que:

$0<\left|x-x_{0}\right|\leq \delta \Longrightarrow \left|f(x)-L\right|<\varepsilon \,$

Observe cuidadosamente que $f(x_{0})\,$ não precisa estar definido e, quando está, não necessariamente vale

$f(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\,$.

Teorema (Unicidade do limite)

Seja $A\subseteq \mathbb {Q} ,f:A\mapsto \mathbb {R} ,x_{0}\in A'$.
Se $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=L_{1}\;e\;\lim _{x\to x_{0}}f(x)=L_{2}$, então $L_{1}=L_{2}\;$

Prova

Pela definição de limite temos

• (1)$\forall \;\epsilon >0,\exists \;\delta >0;\;x\in A;|x-x_{0}|<\delta _{1}\implies |f(x)-L_{1}|<{\epsilon \over 2}$
• (2) $\forall \;\epsilon >0,\exists \;\delta >0;\;x\in A;|x-x_{0}|<\delta _{2}\implies |f(x)-L_{2}|<{\epsilon \over 2}$

Seja $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}\;$. Como $x_{0}\in A'$ logo $\exists \;x_{\delta }\in (x-\delta ,x+\delta )$
De fato $x_{0}\in (x-\delta ,x+\delta )$.
$|L_{1}-L_{2}|=|L_{1}-f(x)+f(x)-L_{2}|<|L_{1}-f(x)|+|f(x)-L_{2}|<\epsilon \;$

$\;$

Teorema (do Confronto aplicado no limite)

Sejam $D\subseteq \mathbb {Q} ,f,g,h:D\mapsto \mathbb {R} ,x_{0}\in D'$.

• $Se\;f(x)<g(x)<h(x),\forall x\in D-\{a\}\;e\;\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=L$, então $\lim _{x\to x_{0}}g(x)=L$

${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L\implies \forall \epsilon >0,\exists \delta _{1}>0;x\in D;|x-x_{0}|<\delta _{1}\implies L-\epsilon <f(x)<L+\epsilon \;}$

$\lim _{x\to x_{0}}h(x)=L\implies \forall \epsilon >0,\exists \delta _{2}>0;x\in D;|x-x_{0}|<\delta _{2}\implies L-\epsilon <h(x)<L+\epsilon \;$

$x\in D,\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}\implies |x-x_{0}|<\delta \implies L-\epsilon <f(x)<g(x)<h(x)<L+\epsilon \implies \lim _{x\to x_{0}}g(x)=L\;$

Limite Sequencial

Poderíamos muito bem ter dado a seguinte definição do limite:

Dado um subconjunto $A\subset \mathbb {R}$ e uma função $f:A\rightarrow \mathbb {R}$, dizemos que o $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$ se $\forall (x_{n})_{n=1}^{\infty }$ tal que $x_{n}\not =c,\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n})=c$, e $\lim _{n\rightarrow \infty }(f(x_{n}))=L$

Note-se que o requisito $x_{n}\not =c$ corresponde com a exigência $|x-c|>0$.

Como um exercício para testar sua compreensão, prove que estas duas definições são equivalentes. Note-se que tendo o contrapositive dá um bom critério para determinar se ou não uma função diverge:

Se $\exists (x_{n}),(y_{n}):(x_{n})\rightarrow c,(y_{n})\rightarrow c$, e $\lim _{n\rightarrow \infty }(f(x_{n}))\not =\lim _{n\rightarrow \infty }(f(y_{n}))$, então $\lim _{x\rightarrow c}f(x)$ não existe.

Comportamento de uma Função Composta sendo aplicado a um limite

Seja $D,E\subset \mathbb {R}$

Teorema (função composta aplicado no Limite)

$\;$

Limites no infinito

Podemos definir o que significa para uma função divergir para o infinito, e o que significa para uma função ter um limite no infinito:

• Dizemos que $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty$ se $\forall M>0:\exists \delta :0<|x-c|<\delta \implies f(x)>M$.

• Dizemos que $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=-\infty$ se $\forall M>0:\exists \delta :0<|x-c|<\delta \implies f(x)<-M$

• Dizemos quet $\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=L$ se $\forall \epsilon >0:\exists M:x>M\implies |f(x)-L|<\epsilon$.

• Dizemos quet $\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=L$ se $\forall \epsilon >0:\exists M:x<-M\implies |f(x)-L|<\epsilon$.

Como exercício, veja se você pode definir o que significa para uma função ter limite $\infty$ como $x\rightarrow \infty$.