Análise rn/Derivadas parciais e direcionais

Derivadas Parciais

Dados $a,h\in U\subset \mathbb {R} ^{n}$ temos:

• O acréscimo h ao vetor a resulta no vetor a+h.
  • Dizer que h é o acréscimo de a siginifica que (a+h) - (a) = h
• A imagem de a é f(a) e a imagem de a+h é $''\phi (a+h)''$
  • O acréscimo que h produz na imagem é o acréscimo $''\phi (a+h)-f(a)''$
• O segmento de reta de um ponto p ao ponto q é dado por $\lambda (t)=p+tq;t\in (0,1)$
  • O segmento de reta de um ponto a na direção de um $e_{i}$ é dado por $\lambda (t)=a+te_{i};t\in (0,1)$

I-ésima Derivada Parcial

Seja o aberto ($U\subset \mathbb {R} ^{n}$) tal que $\phi :U\mapsto \mathbb {R} ^{n}$. Dado o ponto $a\in U$ e $i\in I_{n}$,

a i-ésima derivada parcial de $\phi$ no ponto a é o limite

${\partial \phi \over \partial x_{i}}(a)=\left(\lim _{t\to 0}{\phi (a+te_{i})-\phi (a) \over (a+te_{i})-(a)}=\right)\lim _{t\to 0}{\phi (a+te_{i})-\phi (a) \over t}$

$(a+te_{i})-(a)$ é a distância um ao outro, então temos $|a+te_{i}|-|a|\leq |a|+|te_{i}|-|a|=|a|-|a|+|t||e_{i}|{\mbox{ como }}|e_{i}|=1{\mbox{ logo }}|t|=t$.

Aqui ficou implícito que $|t|=t{\mbox{ pois }}t\in (0,1)$

função real de n variáveis por um caminho

Seja o aberto ($U\subset \mathbb {R} ^{n}$) tal que $\phi :U\mapsto \mathbb {R} ^{n}$. Dado o ponto $a\in U$ e $i\in I_{n}$