Cálculo (Volume 3)/Séries alternadas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Séries alternadas

São séries da forma:

$\sum (-1)^{n+1}a_{n}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\ldots$
ou
$\sum (-1)^{n}a_{n}=-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}-\ldots$

Teste de Leibniz

Seja a série alternada $\sum (-1)^{n+1}a_{n}$, $a_{n}$ > $0$. Se $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ e $a_{n}$ > $a_{n+1},\forall n$, então a série converge e a sua soma não ultrapassa o primeiro termo.

Séries absolutamente convergentes

Uma série numérica $\sum a_{n}$ é absolutamente convergente se a série dos módulos, $\sum |a_{n}|=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots$, converge.

Teorema: Se uma série numérica $\sum a_{n}$ é absolutamente convergente, então é convergente.

Séries condicionalmente convergentes

Uma série $\sum a_{n}$ convergente, mas não absolutamente convergente, é chamada de condicionalmente convergente.

Teste da razão para convergência absoluta

Seja $\sum (-1)^{n}a_{n}$ uma série numérica. Então

$\lim _{n\to +\infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=k$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir

Teste da raiz para convergência absoluta

Seja $\sum (-1)^{n}a_{n}$ uma série numérica. Então

$\lim _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=k$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir