Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Séries numéricas infinitas

Quando temos que representar um número de forma literal, por meio de equação infinita, podemos lançar mão de um recurso interessante, a série. Ela consiste de uma soma de parcelas literais significativas onde cada valor de parcela é um valor sequencial. Podemos dizer que a série é a somatória de uma sequência numérica simples, a qual se torna uma nova sequência.

Definição: Seja $\{a_{n}\}$ uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:

$\sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \,\!$

Observemos que $n$, como termo livre, pode assumir o valor que arbitremos, o que fornece um valor da série para cada valor inteiro que arbitremos. Assim, se tivermos um valor de série para cada $n$, temos uma nova seqUência gerada pela série.

Seqüência das somas parciais

Seja $\sum a_{n}\,\!$ uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência ${S_{n}}\,\!$, onde

$S_{1}=a_{1}\,\!$

$S_{2}=a_{1}+a_{2}=S_{1}+a_{2}\,\!$

$S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=S_{2}+a_{3}\,\!$

$\vdots \,\!$

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=S_{n-1}+a_{n}\,\!$

Série convergente

Definição: Seja $\sum a_{n}\,\!$ uma série e ${S_{n}}\,\!$ a sua seqüência de somas parciais.

• Se $\lim _{n\to \infty }S_{n}=S,|S|\,\!$ < $\infty \,\!$, a série é dita convergente e tem soma $S$;
• Caso contrário, a série diverge

Note que esta constatação não é tão clara para muitas das séries. Para estas, temos que recorrer a diversos recursos de análise matemática, dentre os mais conhecidos temos a indução.

Critério do termo geral

Se $\sum a_{n}\,\!$ é uma série convergente, então $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0\,\!$

Teste da divergência

Se $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0\,\!$, então a série $\sum a_{n}\,\!$ diverge.

Séries geométricas

São séries do tipo $\sum a\cdot r^{n-1}\,\!$.

A série geométrica:

• Converge se e só se $a=0\,\!$ ou $|r|<1\,\!$.
• Se $a=0\,\!$, então $\sum a\cdot r^{n-1}=0\,\!$ (independentemente do valor de $r\,\!$). Se $|r|<1\,\!$, então $\sum a\cdot r^{n-1}={\frac {a}{1-r}}\,\!$.

A prova é feita por indução. Façamos um ensaio parcial da série, definindo as parcelas algebricamente:

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}$

Se multiplicarmos a equação por $r$:

$rS_{n}=ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}+ar^{n}$

Subtraímos as duas equações acima e obtemos:

$(1-r)S_{n}=a(1-r^{n})$

Finalmente, temos $r^{n}=0$ se $|r|<1$ e $lim_{n\to \infty }S_{n}$. O que nos revela que a série converge para:

$S_{n}={\frac {a}{1-r}}$

Propriedades de séries

• Sejam $\sum a_{n}\,\!$ e $\sum b_{n}\,\!$ duas séries convergentes. Então $\sum (a_{n}\pm b_{n})\,\!$ = $\sum a_{n}\pm \sum b_{n}\,\!$ converge
• Se $\sum a_{n}\,\!$ converge (diverge) e $k\not =0\,\!$, então $\sum k\cdot a_{n}=k\sum a_{n}\,\!$ converge (respectivamente, diverge) (se $k=0\,\!$, então $\sum k\cdot a_{n}=0\,\!$ converge)
• Se $\sum a_{n}\,\!$ converge e $\sum b_{n}\,\!$ diverge, então $\sum (a_{n}\pm b_{n})\,\!$ diverge
• Sejam as séries $\sum a_{n}\,\!$ e $\sum b_{k}\,\!$ tais que $b_{k}=a_{n}\,\!$ a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.