Curso de termodinâmica/Variação de entropia dos gases perfeitos-Ciclo de Carnot

Ciclo de Carnot

Considerações iniciais:

Durante o processo reversível de um estado (T1, V1, P1) para um estado (T2, V2, P2), temos:

$dS\;=\;{\frac {\delta q}{T}}$ segunda lei

$dS\;=\;{\frac {dE\;\;+\;PdV}{T}}$ primeira lei

$dE\;=\;C_{V}dT$ gás perfeito

Em conseqüência:

$dS\;=\;{\frac {C_{v}dT\;+\;PdV}{T}}$

então:

$\Delta S\;=\;C_{V}\;ln{\frac {T_{2}}{T_{1}}}\;+\;nR\;ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}$

Porém, para um gás perfeito

$C_{P}=\;C_{V}\;+\;nR\qquad e\qquad {\frac {P_{1}V_{1}}{T_{1}}}\;=\;{\frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}\;=\;nR$

o que leva a :

$\Delta S\;=\;C_{p}\;ln{\frac {T_{2}}{T_{1}}}\;-\;nR\;ln{\frac {P_{2}}{P_{1}}}$

Definição do ciclo

Um ciclo de Carnot compreende quatro etapas reversíveis que aplicamos a n mols de um gás perfeito:

• Uma dilatação (descompressão) isoterma a temperatura T1 = T2 = T_{fonte quente};
• Uma dilatação adiabática de T_{fonte quente} a T3 = T_{fonte fria};
• Uma compressão isoterma a T3 = T4 = T_{fonte fria};
• Uma compressão adiabática de T4 = T_{fonte fria} à T1 = T_{fonte quente}.

As etapas do ciclo de Carnot

O ciclo de Carnot constitui um exemplo simples de máquina, quer dizer um instrumento que permite a conversão de calor em trabalho ou de trabalho em calor.

Cálculo de w, q e E para cada etapa

Etapa A

Durante a expansão isoterma, uma quantidade de trabalho w_A é fornecida (perdida) pelo sistema. Simultaneamente, o calor q_A é absorvido:

$\Delta E_{A}\;=\;0$ $w_{A}\;=\;-\int _{V_{1}}^{V_{2}}PdV\;=\;-nR\;T_{1}\;ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}<0$ $q_{A}\;=\;-w_{A}\;=\;nRT_{1}\;ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}>0$

Etapa B

A expansão adiabática do gás conduz a um resfriamento da temperatura da fonte quente T1 = T2 para a temperatura da fonte fria T3 = T4. O trabalho é fornecido pelo sistema (é uma expansão ) mas acontece nenhuma transferência de calor.

$\Delta E_{B}\;=\;w_{B}\;=\;n{\bar {C}}_{V}(T_{fonte\;fria}\;-\;T_{fonte\;quente})\;<\;0$ $\;q_{B}\;=\;0$

Etapa C

$\Delta e_{c}\;=\;0$

$w_{c}\;=\;-\int _{V_{3}}^{V_{4}}PdV\;=\;-nRT_{3}\;ln{\frac {V_{4}}{V_{3}}}\;>\;0$

$q_{C}\;=\;-w_{c}\;=\;nRT_{3}\;ln{\frac {V_{4}}{V_{3}}}\;<0$

Etapa D

$\Delta E_{D}\;=\;w_{d}\;=\;n{\bar {C}}_{V}(T_{fonte\;quente}-T_{fonte\;fria})\;>0$

A equação de estado do gás permite simplificarem-se as expressões. Assim, durante a expansão adiabática (etapa B), temos:

$dE_{B}\;=\;n{\bar {C}}_{V}dT\;=\;\delta w_{b}\;=\;-PdV$

mas:

${\bar {C}}_{V}dT\;=\;-{\frac {RT}{V}}dV$ ${\bar {C}}_{V}{\frac {dT}{T}}\;=\;-\;R{\frac {dV}{V}}$ ${\bar {C}}_{V}\;ln\;{\frac {T_{fonte\;fria}}{T_{fonte\;quente}}}\;=\;-\;R\;ln\;{\frac {V_{3}}{V_{2}}}\;=\;R\;ln\;{\frac {V_{2}}{V_{3}}}$

Da mesma maneira, para a compressão adiabática (etapa D):

${\bar {C}}_{V}\;ln\;{\frac {T_{fonte\;quente}}{T_{fonte\;fria}}}\;=\;-\;R\;ln{\frac {V_{1}}{V_{4}}}$

Deduzimos dessas relações que

${\frac {V_{2}}{V_{1}}}\;=\;{\frac {V_{3}}{V_{4}}}$

Balanço do ciclo

a) calor

$q_{ciclo}\;=\;\sum _{ciclo}\;q_{i}\;=\;q_{A}\;+\;q_{C}$

$q_{ciclo}\;=\;nRT_{fonte\;quente}\;ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}\;+\;nRT_{fonte\;fria}\;ln{\frac {V_{4}}{V_{3}}}$ $q_{ciclo}\;=\;nR\;ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}(T_{fonte\;quente}\;-\;T_{fonte\;fria})\;>\;0$

b) trabalho

$w_{ciclo}\;=\;\sum _{ciclo}\;w_{i}\;=w_{A}\;+\;w_{C}\qquad porque\qquad w_{B}\;=\;-\;w_{D}$ $w_{ciclo}\;=\;-q_{A}\;-\;q_{C}$ $w_{ciclo}\;=\;n\;R\;ln\;{\frac {V_{2}}{V_{1}}}(T_{fonte\;fria}\;-\;T_{fonte\;quente})\;<\;0$

c) energia

$\Delta E\;=\;w_{ciclo}\;+\;q_{ciclo}\;=0$, de acordo com a primeira lei.Vverificamos igualmente que nem o trabalho nem o calor são funções de estado.

Globalmente, o sistema absorveu calor e forneceu trabalho. O ciclo de Carnot é um exemplo simples de uma máquina térmica, quer dizer, de um sistema capaz de transformar calor em trabalho. Um veículo automóvel é um outro exemplo de máquina (a combustão da gasolina fornece calor que é transformado em trabalho de deslocamento). O resultado do ciclo de Carnot sugere que poderíamos recuperar em trabalho 100 % do calor fornecido. Entretanto, mesmo que não houvesse nenhuma perda de calor por condução e de energia mecânica por atrito, isso não poderia acontecer, porque o calor q_C é devolvido pelo sistema no lugar frio da máquina e, na prática, não pode ser reutilizado para operar a máquina. O rendimento máximo de uma máquina de Carnot é:

$rendimento\;=\;{\frac {-w_{ciclo}}{q_{A}}}\;=\;1+{\frac {q_{C}}{q_{A}}}\;=\;1-{\frac {T_{fonte\;fria}}{T_{fonte\;quente}}}$

Conversão de trabalho em calor

Se percorrermos o ciclo de Carnot no sentido inverso, o sistema recebe energia mecânica e fornece calor em troca . É o principio da geladeira e da bomba a calor. Um gás é comprimido à temperatura do local. Fazendo isso, ele libera calor. O gás é transportado para a fonte fria (dentro da geladeira ou fora do prédio) onde sua expansão é acompanhada de uma absorção de calor.

Verificação da segunda lei

Sendo S uma função de estado, temos S_ciclo = 0. Por outro lado, como cada etapa é reversível:

$\Delta S_{i}\;=\;{\frac {q_{i}}{T}}$

Verificamos que:

$\Delta S_{ciclo}\;=\;\sum _{ciclo}\Delta S_{i}\;=\;\sum _{ciclo}{\frac {q_{i}}{T}}\;={\frac {q_{A}}{T_{fonte\;quente}}}\;+\;{\frac {q_{C}}{T_{fonte\;fria}}}\;=\;0$