Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Distância entre os centros de dois círculos

O problema

Se os lados de um triângulo medem, respectivamente, 3x, 4x e 5x, em que x é um número inteiro positivo, então calcule a distância entre os centros dos círcrulos inscrito e circunscrito a esse triângulo.

Uma solução

Antes de mais nada, se o triângulo possui lados iguais a 3x, 4x e 5x ele é um triângulo retângulo, com hipotenusa igual a 5x e catetos iguais e 3x e 4x. Através disso, podemos calcular as medidas dos raios dos círculos inscrito e circunscirto a esse triângulo, r e R respectivamente:

$r={\frac {A}{p}}={\frac {\frac {3x.4x}{2}}{\frac {3x+4x+5x}{2}}}={\frac {6x^{2}}{6x}}=x$

Sendo A a área do triângulo e p seu semiperímetro.

$A={\frac {a.b.c}{4R}}\longrightarrow R={\frac {a.b.c}{4A}}\longrightarrow R={\frac {60x^{3}}{24x^{2}}}={\frac {5x}{2}}$

Sendo A a área do triângulo e a, b e c são os lados do mesmo. Essa fórmula da área é conseqüência imediata da Lei dos Senos. A utilização da mesma serviu para mostrar que toda circunferência - ou todo círculo - circunscrita a um triângulo retângulo possui diâmetro igual à hipotenusa do triângulo.

Agora, podemos elaborar uma imagem ilustrativa para auxiliar na solução:

Imagem ilustrativa.

Perceba aqui que r, z e d formam um triângulo retângulo. Então:

$d^{2}=r^{2}+z^{2}\longrightarrow d^{2}=x^{2}+z^{2}$....(I)

Agora, vamos atentar para o ângulo $\alpha$. Como a reta que contém o segmento Co é a bissetriz do ângulo BCA, $\alpha$ é a metade desse ângulo. Veja ainda que:

$tg\alpha ={\frac {r}{z+R}}={\frac {x}{z+{\frac {5x}{2}}}}={\frac {x}{\frac {2z+5x}{2}}}={\frac {2x}{2z+5x}}$....(II)

Porém, como já vimos, o ângulo $\alpha$ é a metade do ângulo BCA. Sendo assim, pela fórmula da bissecção de arcos:

$tg\alpha ={\sqrt {\frac {1-cos(2\alpha )}{1+cos(2\alpha )}}}={\frac {\sqrt {1-cos(2\alpha )}}{\sqrt {1+cos(2\alpha )}}}.{\frac {\sqrt {1-cos(2\alpha )}}{\sqrt {1-cos(2\alpha )}}}={\frac {\sqrt {\left(1-cos(2\alpha )\right)^{2}}}{\sqrt {1-cos^{2}(2\alpha )}}}={\frac {1-cos(2\alpha )}{sen(2\alpha )}}$

Como o ângulo $2\alpha$ é o ângulo BCA, temos que:

$cos(2\alpha )={\frac {4}{5}}$

$sen(2\alpha )={\frac {3}{5}}$

Substituindo esses valores na fórmula da tagente que nós encontramos:

$tg\alpha ={\frac {1-\left({\frac {4}{5}}\right)}{\frac {3}{5}}}={\frac {\frac {1}{5}}{\frac {3}{5}}}={\frac {1}{3}}$

Agora, nós podemos substituir esse valor da tagente de $\alpha$ em (II) e encontrar o valor de z em função de x:

${\frac {2x}{2z+5x}}={\frac {1}{3}}\longrightarrow 2z+5x=6x\longrightarrow z={\frac {x}{2}}$

Finalmente, podemos substituir esse valor de z na equação (I) para encontrar o valor de d:

$d^{2}=x^{2}+{\frac {x^{2}}{4}}={\frac {5x^{2}}{4}}$

$d={\frac {x{\sqrt {5}}}{2}}$

E assim terminamos o problema.

Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.
• A Euclides (usuário do Fórum Só Matemática) que tornou possível a disponibilização da demonstração da fórmula do raio da circunferência inscrita num triângulo qualquer.