Guia de problemas matemáticos/Teoria dos números/Números no quadrado
O problema
Observe o quadrado em que as letras representam os números naturais distintos desde 1 até 9. Se a adição de três números de cada linha, de cada coluna ou de cada diagonal, desse quadrado, tem sempre o mesmo resultado, então calcule o número que a letra P representa.
Uma solução
Pelo enunciado, temos que a soma dos três números de cada linha do quadrado é constante. Vamos representá-la por c. Assim sendo, podemos escrever:
k + m + n = c
o + p + q = c
r + s + t = c
Vamos então somar todas as equações. Note que soma de todos os fatores do lado esquerdo das equações representa a soma dos números naturais de 1 a 9, que é igual a 45. Portanto:
45 = 3c
c = 15
Encontramos o valor da soma de cada linha, coluna ou diagonal do quadrado. Como já foi dito que essa soma é a mesma - e agora encontramos seu valor -, podemos fazer o seguinte:
k + p + t = 15
m + p + s = 15
n + p + r = 15
Podemos, novamente, somar as três equações. Agora note que k + m + n = r + s + t =15. Então:
30 + 3p = 45
3p = 15
p = 5
E terminamos o problema.
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