Guia de problemas matemáticos/Teoria dos números/Soma de números irracionais 1

O problema

Se
$a={\sqrt {4-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}$
e
$b={\sqrt {4+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}$,
calcule o valor de (a + b).

Uma solução

Como nós temos vários radicais para retirar, podemos usar o artifício dos produtos notáveis para resolver esse problema. Utilizando então o produto notável (a + b)²:

$\left(a+b\right)^{2}=4-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}+2.{\sqrt {4-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}.{\sqrt {4+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}+4+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$

$\left(a+b\right)^{2}=8+2.{\sqrt {16-10-2{\sqrt {5}}}}$

$\left(a+b\right)^{2}=8+2.{\sqrt {6-2{\sqrt {5}}}}=8+2.{\sqrt {\left({\sqrt {5}}-1\right)^{2}}}$

$\left(a+b\right)^{2}=8+2{\sqrt {5}}-2=6+2{\sqrt {5}}$

$a+b={\sqrt {6+2{\sqrt {5}}}}={\sqrt {\left({\sqrt {5}}+1\right)^{2}}}$

$a+b={\sqrt {5}}+1$

E assim terminamos o problema.

Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.