Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Fórmulas Contingentes, Contradições e Tautologias

Fórmulas Contingentes, Contradições e Tautologias

Fórmulas contingentes são aquelas verdadeiras em algumas valorações e falsas em outras. Todas fórmulas descritas na seção anterior são contingentes:

A	B	¬A	A∧B	A∨B	A→B	A↔B
V	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F
F	F	V	F	F	V	V

Contradições são fórmulas falsas em todas valorações. Um exemplo de contradição é $A\land \neg A$:

A	¬A	A∧¬A
V	F	F
F	V	F

Tautologias são fórmulas verdadeiras em todas valorações. Alguns exemplos de tautologia são $A\to A$, $\neg \left(A\land \neg A\right)$ e $A\lor \neg A$.

A	¬A	A→A	¬(A∧¬A)	A∨¬A
V	F	V	V	V
F	V	V	V	V

Nota: Toda negação de uma contradição consiste numa tautologia e toda negação de uma tautologia consiste numa contradição.

Exercício

Faça a tabela de verdade das seguintes fórmulas e determine se elas são contingentes, contraditórias ou tautológicas.

1. $A\leftrightarrow A\,\!$
2. $A\leftrightarrow \neg A\,\!$
3. $\neg \left(P\lor \neg P\right)$
4. $A\to \left(B\to A\right)\,\!$
5. $\left(A\to B\right)\to A\,\!$
6. $\left(A\lor B\right)\to A\,\!$
7. $A\to \left(A\lor B\right)\,\!$
8. $\left(C\land D\right)\to D\,\!$
9. $D\to \left(C\land D\right)\,\!$
10. $\neg \neg A\,\!$

Resolução dos Exercícios

Lista de Tautologias

Antes de listar as tautologias mais usuais, faz-se necessário um esclarecimento. Se dada uma fórmula tautológica, seus termos são substituídos por quaisquer outras fórmulas, ela continua sendo uma tautologia. Exemplo:

$A\to A$ é uma tautologia.

Substitui-se o termo $A\!\,$ pela fórmula molecular $\left(B\land C\right)\leftrightarrow \left(D\lor E\right)$

$\left(\left(B\land C\right)\leftrightarrow \left(D\lor E\right)\right)\to \left(\left(B\land C\right)\leftrightarrow \left(D\lor E\right)\right)$

Está fórmula também é uma tautologia.

Assim, a fim de expressar abrangentemente as fórmulas tautológicas, ao invés de usar letras romanas (A, B, C, D etc.), usar-se-á letras gregas minúsculas (α, β, γ, δ, ε etc.) que representam fórmulas quaisquer (atômicas, moleculares, contingentes, contraditórias ou tautológicas).

Lembre-se que as letras do alfabeto grego não tem um significado específico em uma linguagem ${\mathcal {L}}$. Elas consistem em variáveis metalingüísticas. As estruturas lingüísticas formadas por elas não são fórmulas ou teoremas, mas esquema de fórmulas ou esquema de teoremas. Porém, os próprios lógicos, por economia de linguagem, se referem aos esquemas de fórmulas por “fórmulas” e idem para os esquemas de teoremas. Esta economia de linguagem também ocorre ao longo deste wikilivro.

Princípio de identidade	α → α α ↔ α
Princípio de não-contradição	¬(α ∧ ¬α)
Princípio do terceiro excluído	α ∨ ¬α α ∨ ¬α
Dupla negação	α ↔ ¬¬α
Idempotência da conjunção	(α ∧ α) ↔ α
Idempotência da disjunção	(α ∨ α) ↔ α
Comutatividade da conjunção	(α ∧ β) ↔ (β ∧ α)
Comutatividade da disjunção	(α ∨ β) ↔ (β ∨ α)
Comutatividade da equivalência	(α ↔ β) ↔ (β ↔ α)
Associatividade da conjunção	((α ∧ β) ∧ γ) ↔ (α ∧ (β ∧ γ))
Associatividade da disjunção	(( α ∨ β) ∨ γ) ↔ (α ∨ (β ∨ γ))
Associatividade da equivalência	((α ↔ β) ↔ γ) ↔ (α ↔ (β ↔ γ))
Leis de DeMorgan	¬(α ∧ β) ↔ (¬α ∨ ¬β) ¬(α ∨ β) ↔ (¬α ∧ ¬β)
Contraposição	(α → β) ↔ (¬β → ¬α)
Distributividade	(α ∧ (β ∨ γ)) ↔ ((α ∧ β) ∨ ( α ∧ γ)) (α ∨ (β ∧ γ)) ↔ ((α ∨ β) ∧ (α ∨ γ))
Modus ponens	(α ∧ (α → β)) → β
Modus tollens	(¬β ∧ (α→β)) → ¬α
Silogismo disjuntivo	((α ∨ β) ∧ ¬α) → β
Silogismo hipotético	((α → β) ∧ (β → γ)) → (α → γ)
Lei de Peirce	((α → β) → α) → α
Lei de Dun Scot	¬α → (α → β)
Prefixação	α → (β → α)
Antilogismo	((α ∧ β) → γ) ↔ ((α ∧ ¬γ) → ¬β)
Exportação/Importação	((α ∧ β) → γ) ↔ (α → (β → γ))
Princípio da Explosão	(α ∧ ¬α) → β