Lógica/Cálculo Proposicional Clássico/Funções de Verdade e Valorações

Todas funções de verdade e a interdefinibilidade das operações

Como você deve saber, funções são procedimentos que, aplicados a cada elemento do domínio, remetem a um único elemento do contra-domínio. Dado isto, é fácil entender que os operadores lógicos no CPC são funções de verdade. Seja qual for o valor de uma fórmula (ou os valores de duas), uma função de verdade remeterá este(s) a um e apenas valor: verdadeiro ou falso.

Anteriormente apresentamos uma função de verdade unária (a Negação) e seis funções de verdades binárias, apesar de estarmos trabalhando apenas com quatro destas. Vejamos agora todas as funções de verdade do CPC.

• As funções unárias

A	1	2	3	4
V	V	V	F	F
F	V	F	V	F

Você provavelmente reconheceu na linha 3 a negação.

• As funções binárias

A

B

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

V

V

V

F

V

V

V

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

V

F

V

V

F

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

V

V

V

V

F

V

V

F

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

F

V

V

V

V

F

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

F

Já conhecemos algumas destas funções:

Na coluna 2 temos o traço de Sheffer, $A\mid B\,\!$.

Na coluna 3 temos a implicação, $A\to B\,\!$.

Na coluna 5 temos a disjunção, $A\lor B\,\!$.

Na coluna 8 temos a disjunção exclusiva (também conhecida como disjunção forte), $A{\underline {\lor }}B\,\!$.

Na coluna 11 temos a bi-implicação, $A\leftrightarrow B\,\!$.

Na coluna 12 temos a conjunção, $A\land B\,\!$.

Na coluna 15 temos a adaga de Quine, $A\downarrow B\,\!$.

Até existem conectivos pouco usuais para algumas destas funções. Por exemplo, a função da coluna 4 pode ser representada assim: $A\gets B\,\!$.

Há bons motivos para não adotarmos conectivos para cada uma das funções de verdade, assim como para não utilizar todos conectivos:

1º) Algumas funções expressam relações desinteressantes entre as fórmulas, sendo algumas muito difíceis de interpretar.

2º) Como veremos adiante, precisamos estabelecer regras de construção de tablôs, regras de dedução natural e axiomas para cada conectivo que adotarmos.

3º) Os operadores são interdefiníveis, bastando adotar alguns deles (inclusive menos do que adotamos aqui) para expressar todas as funções de verdade.

Eis alguns exemplos da interdefinibilidade dos operadores:

$\left(A\to B\right)\equiv \neg \left(A\land \neg B\right)\equiv \left(\neg A\lor B\right)\equiv \neg \left(\neg A\downarrow B\right)$

A	B	¬A	¬B	A→B	A∧¬B	¬(A∧¬B)	¬A∨B
V	V	F	F	V	F	V	V
V	F	F	V	F	V	F	F
F	V	V	F	V	F	V	V
F	F	V	V	V	F	V	V

Da mesma forma:

$\left(A\land B\right)\equiv \neg \left(B\to \neg A\right)\equiv \neg \left(\neg A\lor \neg B\right)\equiv \left(\neg A\downarrow \neg B\right)$

A	B	¬A	¬B	A∧B	B→¬A	¬(B→¬A)	(¬A↓¬B)
V	V	F	F	V	F	V	V
V	F	F	V	F	V	F	F
F	V	V	F	F	V	F	F
F	F	V	V	F	V	F	F

Só mais um exemplo:

$\left(A\lor B\right)\equiv \neg \left(\neg A\land \neg B\right)\equiv \left(\neg A\to B\right)\equiv \neg \left(A\downarrow B\right)$

A	B	¬A	¬B	A∨B	¬A∧¬B	¬(¬A∧¬B)	¬A→B
V	V	F	F	V	F	V	V
V	F	F	V	V	F	V	V
F	V	V	F	V	F	V	V
F	F	V	V	F	V	F	F

Com a Adaga de Quine podemos prescindir até da negação. Ela sozinha é capaz de expressar todas funções de verdade:

$\lnot \mathrm {P} \equiv \mathrm {P} \downarrow \mathrm {P} \,\!$

$\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \equiv (\mathrm {P} \downarrow \mathrm {P} )\downarrow (\mathrm {Q} \downarrow \mathrm {Q} )\,\!$

$\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \equiv (\mathrm {P} \downarrow \mathrm {Q} )\downarrow (\mathrm {P} \downarrow \mathrm {Q} )\,\!$

$\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \equiv ((\mathrm {P} \downarrow \mathrm {Q} )\downarrow \mathrm {Q} )\downarrow ((\mathrm {P} \downarrow \mathrm {Q} )\downarrow \mathrm {Q} )\,\!$

$\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} \equiv ((\mathrm {P} \downarrow \mathrm {P} )\downarrow \mathrm {Q} )\downarrow (\mathrm {P} \downarrow (\mathrm {Q} \downarrow \mathrm {Q} ))\,\!$

O mesmo vale para o traço de Sheffer:

$\neg A\equiv A|A,$

$A\wedge B\equiv (A|B)|(A|B)$

$A\vee B\equiv (A|A)|(B|B)$

$A\rightarrow B\equiv A|(B|B)\equiv A|(A|B)$

A escolha de quais operadores serão usados é uma faca de dois gumes. Se por uma lado o excesso de operadores nos obriga a lidar com mais axiomas, regras de inferência e de construção de tablôs; por outro, a economia de operadores nos obriga a lidar com fórmulas mais complexas, mais difíceis de serem lidas e interpretadas.

No restante deste capítulo trataremos apenas da conjunção, disjunção, implicação, bi-implicação e negação.

Valorações

Valorações são funções que estabelecem um valor de verdade arbitrário para cada fórmula atômica de uma linguagem ${\mathcal {L}}$ e um valor para cada fórmula molecular em vista dos valores das fórmulas atômicas. Basicamente, em cada linha da tabela de verdade estamos trabalhando com uma valoração.

Para simbolizar as funções de valoração, usaremos a letra ${\mathfrak {v}}$. Trabalheremos com elas por meio de símbolos metalógicos bem parecidos com os operadores lógicos que conhecemos.

Exemplo:

${\mathfrak {v}}_{1}\left(A\right)=\mathrm {V} ,{\mathfrak {v}}_{1}\left(B\right)=\mathrm {V} \Longrightarrow {\mathfrak {v}}_{1}\left(A\land B\right)=\mathrm {V}$

Isto quer dizer, se em uma valoração 1 a fórmula $A\,\!$ é verdadeira e a fórmula $B\,\!$ é verdadeira, então na mesma valoração 1 $A\land B\,\!$ é verdadeira.

${\mathfrak {v}}_{2}\left(A\right)=\mathrm {V} ,{\mathfrak {v}}_{2}\left(B\right)=\mathrm {F} \Longrightarrow {\mathfrak {v}}_{2}\left(A\land B\right)=\mathrm {F}$

Isto quer dizer, se em uma valoração 2 a fórmula $A\,\!$ é verdadeira e a fórmula $B\,\!$ é falsa, então na mesma valoração 2 $A\land B\,\!$ é falsa.

Agora estabeleceremos, para quaisquer fórmulas, as condições para que uma negação, uma conjunção, uma disjunção, uma implicação e uma bi-implicação sejam verdadeiras ou falsas.

A valoração de $\neg \alpha \,\!$ é verdadeira se e somente se a valoração de $\alpha \,\!$ é falsa:

${\mathfrak {v}}\left(\neg \alpha \right)=\mathrm {V} \iff {\mathfrak {v}}\left(\alpha \right)=\mathrm {F}$

A valoração de $\neg \alpha \,\!$ é falsa se e somente se a valoração de $\alpha \,\!$ é verdadeira:

${\mathfrak {v}}\left(\neg \alpha \right)=\mathrm {F} \iff {\mathfrak {v}}\left(\alpha \right)=\mathrm {V}$

A valoração de $\alpha \land \beta$ é verdadeira se e somente se a valoração de $\alpha \,\!$ é verdadeira e a valoração de $\beta \,\!$ é verdadeira:

${\mathfrak {v}}\left(\alpha \land \beta \right)=\mathrm {V} \iff {\mathfrak {v}}\left(\alpha \right)=\mathrm {V} ,{\mathfrak {v}}\left(\beta \right)=\mathrm {V}$

A valoração de $\alpha \land \beta$ é falsa se e somente se a valoração de $\alpha \,\!$ é falsa ou a valoração de $\beta \,\!$ é falsa:

${\mathfrak {v}}\left(\alpha \land \beta \right)=\mathrm {F} \iff {\mathfrak {v}}\left(\alpha \right)=\mathrm {F} \quad \mathrm {ou} \quad {\mathfrak {v}}\left(\beta \right)=\mathrm {F}$

A valoração de $\alpha \lor \beta$ é verdadeira se e somente se a valoração de $\alpha \,\!$ é verdadeira ou a valoração de $\beta \,\!$ é verdadeira:

${\mathfrak {v}}\left(\alpha \lor \beta \right)=\mathrm {V} \iff {\mathfrak {v}}\left(\alpha \right)=\mathrm {V} \ \mathrm {ou} \ {\mathfrak {v}}\left(\beta \right)=\mathrm {V}$

A valoração de $\alpha \lor \beta$ é falsa se e somente se a valoração de $\alpha \,\!$ é falsa e a valoração de $\beta \,\!$ é falsa:

${\mathfrak {v}}\left(\alpha \lor \beta \right)=\mathrm {F} \iff {\mathfrak {v}}\left(\alpha \right)=\mathrm {F} \ ,\ {\mathfrak {v}}\left(\beta \right)=\mathrm {F}$

A valoração de $\alpha \to \beta$ é verdadeira se e somente se a valoração de $\alpha \,\!$ é falsa ou a valoração de $\beta \,\!$ é verdadeira:

${\mathfrak {v}}\left(\alpha \to \beta \right)=\mathrm {V} \iff {\mathfrak {v}}\left(\alpha \right)=\mathrm {F} \ \mathrm {ou} \ {\mathfrak {v}}\left(\beta \right)=\mathrm {V}$

A valoração de $\alpha \to \beta$ é falsa se e somente se a valoração de $\alpha \,\!$ é verdadeira e a valoração de $\beta \,\!$ é falsa:

${\mathfrak {v}}\left(\alpha \to \beta \right)=\mathrm {F} \iff {\mathfrak {v}}\left(\alpha \right)=\mathrm {V} \ ,\ {\mathfrak {v}}\left(\beta \right)=\mathrm {F}$

A valoração de $\alpha \leftrightarrow \beta$ é verdadeira se e somente se a valoração de $\alpha \,\!$ é igual à valoração de $\beta \,\!$:

${\mathfrak {v}}\left(\alpha \leftrightarrow \beta \right)=\mathrm {V} \iff {\mathfrak {v}}\left(\alpha \right)={\mathfrak {v}}\left(\beta \right)$

A valoração de $\alpha \leftrightarrow \beta$ é falsa se e somente se a valoração de $\alpha \,\!$ não é igual à valoração de $\beta \,\!$:

${\mathfrak {v}}\left(\alpha \leftrightarrow \beta \right)=\mathrm {F} \iff {\mathfrak {v}}\left(\alpha \right)\neq {\mathfrak {v}}\left(\beta \right)$