Lógica/Lógicas Não-clássicas/Lógica Modal

Introdução

Lógicas modais tratam de modalidades. Além dos conectivos são inseridos dois novos conectivos unários (modalidades):

Modalidade	$\Box A$	$\Diamond A$
Necessidade	Necessário	Possível
Temporal	Sempre no futuro	Em algum lugar no futuro
Doxástico	Acredito que	É consistente com minhas crenças
Provabilidade	É demonstrável que	É consistente que
Deôntica	É obrigatório que	É permitido que

Linguagem das lógicas modais:

• Alfabeto: Símbolos lógicos, $\Box ,\Diamond$ e símbolos proposicionais ($P$).
• Linguagem: $L_{\Box }$ é menor conjunto que:
  • $P\subseteq L_{\Box }$
  • $A\in L_{\Box }$ então $\neg A\in L_{\Box }$
  • $A,B\in L_{\Box }$ então $A\#B\in L_{\Box }$ com $\#\in \{\land ,\lor ,\rightarrow \}$
  • $A\in L_{\Box }$ então $\Box A,\Diamond A\in L_{\Box }$

Axiomatização da Lógica Modal Normal Mínima

Primeiramente definiremos a sintática da lógica modal por sua axiomática. Existem vários tipos de lógica modal, começaremos descrevendo a axiomática da menor lógica normal, também chamada de lógica K:

Axiomas

• A0) Todas as tautologias clássicas
• K) $\Box (p\rightarrow q)\rightarrow (\Box p\rightarrow \Box q)$

Regras de Inferência

• Modus Ponens: ${\frac {\vdash A\rightarrow B,\vdash A}{\vdash B}}$
• Necessitação: ${\frac {\vdash A}{\vdash \Box A}}$

Obs.: Para podermos derivar $\Box A$ temos que ter provado $A$, não sempre verdade que $\vdash p\rightarrow \Box p$

Outros Axiomas Importantes

Como já mencionamos existem várias lógicas modais diferentes. Em geral os axiomas e as regras de derivação acima são comuns a todas elas (todas aslógicas modais normais). Citaremos alguns outros axiomas que definem outras lógicas modais:

• T) $\Box p\rightarrow p$
• 4) $\Box p\rightarrow \Box \Box p$
• 5) $\Diamond p\rightarrow \Box \Diamond p$
• B) $p\rightarrow \Box \Diamond p$
• D) $\Box p\rightarrow \Diamond p$

Semântica de Kripke

Estrutura de Kripke

Uma estrutura de Kripke é um par (W,R) onde:

• $W$ é um conjunto não vazio. Representa o conjunto de mundos possíveis
• $R\subseteq W\times W$ é uma relação binária. Relação de acessibilidade.

Modelo de Kripke

$\mu =(W,R,v)$ é um modelo de Kripke sse:

$v:P\to 2^{W}$ onde (W,R) é uma estrutura de Kripke. Ou seja v leva símbolos proposicionais aos mundos nos quais eles são verdadeiros.