Métodos numéricos/Exercícios computacionais

Introdução

Alguns problemas computacionais.

Aritmética computacional

1. Usando o Octave, calcule e explique os resultados das seguintes operações:

$2^{1023}+2^{1023}-2^{971}=$

$2^{1023}-2^{971}+2^{1023}=$

$2^{1023}-2^{1023}=$

$2^{1023}-2^{1023}+0.1=$

$2^{1023}+0.1-2^{1023}=$

2. O limite $C=\lim _{n\to +\infty }c_{n}=0.57721566490\ldots$ É chamada constante de Euler.

2.1 Escreva um programa que calcula $C$ com uma precisão de $10^{-6}$ (Será que o consegue fazer?).

2.2 Verifique numericamente (para $n\leq 10^{7}$) que o erro em cada iteração satisfaz a relação

$\epsilon _{n}=c_{n}-C={\frac {1}{2n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$

Quando $n\to +\infty$.

Sistemas não lineares

Para encontrar as raízes de um polinómio $p_{n}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}$, onde $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$, pode-se desenvolver a factorização, onde $z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}$ são as raízes do polinómio,

$p_{n}(x)=a_{n}(x-z_{1})(x-z_{2})\times \ldots \times (x-z_{n})$

Estabelecendo um sistema de equações não lineares com a forma

$a_{0}=a_{n}(-1)^{n}z_{1}\times \ldots \times z_{n}$

$a_{1}=a_{n}(-1)^{n-1}\left(z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+\ldots +z_{1}z_{n}+z_{2}z_{3}+z_{2}z_{4}+\ldots +z_{2}z_{n}+\ldots +z_{n}z_{1}+z_{n}z_{2}+\ldots +z_{n}z_{n-1}\right)$

$\ldots$

$a_{n-1}=-a_{n}\left(z_{1}+z_{2}+\ldots z_{n}\right)$

Que tem uma única solução. Este processo leva a um método rápido e eficaz para se calcular todas as raízes de $p_{n}(x)$ se se aplicar o método de Newton à resolução deste sistema não linear.

1. Suponha que existem zeros complexos para um polinómio com coeficientes reais. Haverá possibilidade de convergência do método de Newton para a solução do sistema se considerar todas as aproximações iniciais reais? Por quê?

2. Para o caso de polinómios de grau três, com a forma $p_{3}(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$, escreva explicitamente o sistema não linear que deve resolver.

3. Aplique esse método para determinar aproximadamente as soluções de $x^{3}+3x+1=0$, após ter escolhido uma aproximação inicial para a solução do sistema anterior. Use como critério de paragem $\vert \vert z^{(k+1)}-z^{(k)}\vert \vert \leq 10^{-3}$.

Interpolação polinomial

Exercício sobre os polinómios de Berstein.

Equações diferenciais ordinárias

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