Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais

Definição

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, ...). Em alguns contextos, o número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. O uso mais comum deles é a contagem ou a ordenação. As propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas neste capítulo. Outras propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela análise combinatória.

Os matemáticos usam $\mathbb {N}$ para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição.

$\mathbb {N}$ = {0,1,2,3,4,5,6,7,...}

Se retirarmos o $0$ desses conjunto, obtemos o subconjunto:

$\mathbb {N} ^{*}$ = {1,2,3,4,5,6,7,...}

Operações em $\mathbb {N}$

São duas as operações em naturais que sempre tem correspondente natural. São a adição e a multiplicação de naturais. As outras operações básicas, a subtração e a divisão nem sempre tem correspondente em naturais, embora possam ter em outros conjuntos.

Por exemplo: 10 e 11 são números naturais, porém, $10-11=-1$, e $-1$ não é um número natural. Porém, é um número inteiro, pertencente ao conjunto $\mathbb {Z}$

Critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par. Por exemplo, 40, 42, e 44 são números divisíveis por 2.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:

• 360 (3+6+0=9) → é divisível.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4.

Exemplo:

• 416 (últimos dois algarismos: 16 [= 4×4]) → é divisível.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

Exemplo:

• 2.654.820 → é divisível.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplo:

• 414 → divisível por 6, pois
  • par → divisível por 2
  • 4+1+4=9 → divisível por 3.

Divisibilidade por 7

A divisibilidade por $7$ também pode ser verificada da seguinte maneira:

Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3. Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, $45-6=39.$ Como 39 não é divisível por 7 o número 453 também não é.

Outro exemplo: $784$ → Separando $78$ e $4,$ teremos $78-8=70.$ Como $70$ é divisível por $7$ o número $784$ também é.

Outro critério usa a soma e não a subtração. Um número de mais de três algarismos ABCD... é divisível por 7 quando o número B(C+2A)D... for múltiplo de 7. Isso porque 98 = 100 - 2 é múltiplo de 7, então o que esta operação faz é trocar 100 A por 2 A. Exemplos: 1645 -> 665 -> 65 + 12 -> 77 (múltiplo de 7); 3192 -> 192 + 60 -> 252 -> 56 (múltiplo de 7); 9876 -> 876 + 180 -> 1056 -> 76 (não é múltiplo de 7).

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um número múltiplo de 8.

Exemplo:

• 24512 → é divisível.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:

• 927 (9+2+7=18) → é divisível.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

Exemplo:

• 154.870 → é divisível

A divisibilidade por 11

Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154.

• Separe o último algarismo

  15 e 4

• Subtraía o segundo do primeiro, ou seja,

  15 - 4 = 11.

Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é.

Num contra-exemplo, usaremos o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7; 27 - 7 = 20, que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é.

O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores.

Dica: Números que seguem a forma "ABBA" são divisíveis por 11.

Por exemplo: para 1221, temos A = 1 e B = 2.

Uma regra prática para números grandes é somar os algarismos de posição par e os de posição ímpar. Se as somas forem iguais ou os restos das divisões por 11 forem iguais, então o número é múltiplo de 11. Ou seja, em um número da forma ABCDEFG, compara-se A+C+E+G com B+D+F

Exemplo: 783178 é divisível por 11, porque 7+3+7 = 8+1+8 = 17. Analogamente, 703175 também é, porque o resto da divisão das duas somas por 11 são iguais, 7+3+7=17 tem resto 6 e 0+1+5=6 também tem resto 6.

Dois exemplos com números grandes:

• 4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160 → $168\equiv 146{\pmod {11}}$, portanto é divisível.
• 4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161 → $171\not \equiv 148{\pmod {11}}$, portanto não é divisível.

Divisibilidade por $2^{n}$

Um número é divisível por $2^{n}$ quando seus últimos n algarismos forem 0 ou divisíveis por $2^{n}.$

Divisibilidade por $3^{n}$

Um número é divisível por $3^{n}$ quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por $3^{n}.$

Números primos

Número primo é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é um número composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.

Decomposição em fatores primos (fatoração)

O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como o produto de vários números primos (chamados fatores primos). O processo que recebe como argumento um número composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos (fatoração).

Exemplos:

• $6=2\times 3$
• $16=2^{4}\,\!$
• $20=2^{2}\times 5$

Máximo Divisor Comum (MDC)

O máximo divisor comum (também conhecido por maior divisor em comum) entre dois números $a\,\!$ e $b\,\!$ (vulgarmente abreviada como $mdc(a,b)\,\!$) é o maior número inteiro encontrado, que seja divisor dos outros dois. Por exemplo, $mdc(16,8)=8\,\!.$ A definição abrange qualquer número de termos.

Exemplo:

• $mdc(a,b,c,d)\,\!.$

Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir equações a outras equivalentes:

Seja $m\,\!$ o máximo divisor comum entre $a\,\!$ e $b\,\!$ e também $a'\,\!$ e $b'\,\!$ o resultado da divisão de ambos por $m\,\!,$ respectivamente.

Então, o seguinte se verifica:

$a=b\Leftrightarrow ma=mb\Leftrightarrow a'=b'\,\!$

Cálculo

Pode-se calcular o MDC de duas formas:

• Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas)
• Fatoração disjunta

Fatoração disjunta

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, multiplicar os fatores comuns de menor expoente.

Exemplo

$mdc(24,40)\,\!$

24  | 2
12  | 2
6   | 2
3   | 3   
1   | 2³ • 3

40  | 2
20  | 2
10  | 2   
5   | 5   
1   | 2³ • 5

Com efeito,

MDC = 2³ = 8

Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)

Na Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas) fatora-se simultaneamente até dois números.

Monta-se a tabela com a seguinte estrutura:

     $Q_{1}$    $Q_{2}$     $Q_{...}$   
  A  |  B  |  R1  |  R2  | R...
  R1 | R2  | R...  | 0

onde,

A = um dos números
B = o outro número
$Q_{1}$ = quociente da divisão ${\frac {A}{B}}$
$R_{1}$ = resto da divisão ${\frac {A}{B}}$ (em seguida, ele torna-se o divisor de B)
E assim em diante.

O último resto (antes do 0) será o MDC.

Exemplo

      3      3        
  80  |  24  |  8    ← MDC (8)
  8   |   0

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O Mínimo Múltiplo Comum (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números $a\,\!$ e $b\,\!$ (vulgarmente abreviada como $mmc(a,b)\,\!$) é o menor número inteiro encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo, $mmc(6,8)=24\,\!.$

Cálculo

Pode-se calcular o MMC de duas formas:

• Fatoração conjunta
• Fatoração disjunta

Fatoração conjunta

Faz-se a fatoração com todos os n termos, simultaneamente:

Exemplo

$mmc(24,40)\,\!$

24, 40  | 2
12, 20  | 2   
6, 10   | 2  +
3,  5   | 3
1,  5   | 5  
1,  1   | 120

Fatoração disjunta

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, manter-se a base em comum e o expoente maior, multiplicado pelos fatores não comuns.

Exemplo

$mmc(24,40)\,\!$

24  | 2
12  | 2
6   | 2   x
3   | 3   
1   | 2³ • 3

40  | 2
20  | 2   x
10  | 2   
5   | 5   
1   | 2³ • 5

Com efeito,

23 • 3 • 5
8 • 3 • 5
120,

Propriedades do MDC e do MMC

Relação de Bézout: $MDC(a,b)\times MMC(a,b)=a\times b$

Algoritmo de Euclides: MDC(a, b)=MDC(a, b-a) MDC(a, b)=MDC(a, r), onde r é o resto da divisão de b por a.

Ver também

Wikilivros

Exercícios:

• Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais/Exercícios

Uma abordagem mais avançada:

• Álgebra abstrata/Números naturais
• Teoria de números

Wikipédia

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• Número primo
• Máximo divisor comum