Matemática elementar/Matrizes

Matrizes

Conceito

Uma matriz $A_{m,n}\,\!$ pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas e n colunas, conforme figura ao lado.

$A={\begin{bmatrix}4&0&9\\1&7&3\end{bmatrix}}$

Notação

• Matrizes devem ser escritas com parênteses ou colchetes à esquerda e à direita, sendo as duas maneiras equivalentes.
• Uma matriz é indicada por uma letra maiúscula.
• Seus elementos são indicados usando a mesma letra, porém minúscula, com a linha e coluna usados como índice (nesta ordem). Assim, o elemento da 3ª coluna na 2ª linha da matriz A será $a_{23}$.

Assim, na matriz acima, de 2 linhas e 3 colunas, temos:

$a_{11}\ =\ 4,\ a_{12}\ =\ 0,\ a_{13}\ =\ 9$

$a_{21}\ =\ 1,\ a_{22}\ =\ 7,\ a_{23}\ =\ 3$

Ordem de uma matriz

Ordem de uma matriz refere-se ao seu número de linhas e colunas. É apresentada na notação m×n, onde m é o número de linhas e n o de colunas. Lê-se "m por n".

Assim, a matriz A acima é de ordem 2×3.

Adição e subtração

Esta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas (mesma ordem). Sejam duas matrizes $A_{m,n}\,\!$ e $B_{m,n}\,\!$.

Então a matriz $R\ =\ A\ \pm \ B\,\!$ é uma matriz mn tal que cada elemento de $R\,\!$ é dado por:

$r_{ij}\ =\ a_{ij}\pm b_{ij}$. Ver exemplo ao lado.

Multiplicação por um escalar

Seja a matriz $A_{m,n}\,\!$ e $c\,\!$ um escalar. A matriz

$P=cA\,\!$ é uma matriz m×n tal que cada elemento de $P\,\!$ é dado por:

$p_{ij}\ =\ c\cdot a_{ij}\,\!$.

Algumas propriedades das operações anteriores

Sejam $A\,\!$ e $B\,\!$ matrizes $m\times n\,\!$ e $c\,\!$ e $d\,\!$ escalares. Então:

$c(A+B)=cA+cB\,\!$ e $d(cA)=dc(A)\,\!$.

E, também, se $cA=cB\,\!$ e $c\neq 0\,$ então $A=B\,\!$.

Matrizes nulas

Matriz nula $O_{m,n}\,\!$ é aquela cujos elementos são todos nulos.

matriz identidade $I_{n}\,\!$ é matriz $I_{n,n}\,\!$ na qual $i_{j,k}=1\,\!$ se $j=k\,\!$ e zero nos demais casos. Ou, de outra maneira, é a matriz na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos.

Matrizes especiais

• Matriz linha é a matriz em que o número de linhas é igual a 1.
• Matriz coluna é a matriz em que o número de colunas é igual a 1.
• Matriz quadrada é a matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas.
• Matriz unitária é a matriz em que obedece a relação ($A^{t}=A^{-1}$).
• Matriz transposta ($A^{t}$) da matriz $A$ é a matriz obtida pela permutação das linhas e colunas de $A$. Ou seja, cada coluna de $A$ será uma linha de $A^{t}$ e cada linha da matriz original será uma coluna da transposta.

Multiplicação de matrizes

Sejam as matrizes $A_{m,p}$ e $B_{p,n}$ (o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda).

O produto AB é dado pela matriz $C_{m,n}$ cujos elementos são calculados por:

$c_{ij}=\sum _{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}$

$A={\begin{bmatrix}4&0&5\\1&1&3\end{bmatrix}}$ e $B={\begin{bmatrix}1&2\\2&5\\1&0\end{bmatrix}}$

Veja os cálculos para o exemplo da figura acima.

$c_{11}=4\cdot 1+0\cdot 2+5\cdot 1=9$

$c_{12}=4\cdot 2+0\cdot 5+5\cdot 0=8$

$c_{21}=1\cdot 1+1\cdot 2+3\cdot 1=6$

$c_{22}=1\cdot 2+1\cdot 5+3\cdot 0=7$

Ordem dos fatores

Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtos AB e BA podem ser calculados.

Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente. Em geral, $AB\neq BA$.

Se AB = BA, as matrizes são ditas comutativas......

Algumas propriedades do produto de matrizes

Sejam as matrizes A, B e C.

1. Se os produtos A(BC) e (AB)C são possíveis de cálculo, então A(BC) = (AB)C.
2. Se os produtos AC e BC são possíveis, então (A+B)C = AC + BC.
3. Se os produtos CA e CB são possíveis, então C(A+B) = CA + CB.
4. Se $I_{p}$ é a matriz unitária $p\times p$ conforme já mencionado, então: $I_{p}A_{p,n}=A_{p,n}$ e $B_{m,p}I_{p}=B_{m,p}$.

Matriz inversa

Sejam as matrizes quadradas $A_{n,n}$ e $B_{n,n}$.

Se $BA=I_{n}$, onde $I_{n}$ é a matriz unitária conforme já visto, então B é chamada de matriz inversa esquerda de A.

Para achar a matriz inversa:

Por exemplo, seja a matriz A ao lado e desejamos saber sua inversa esquerda B. O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito de A.

Agora, o objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo (processo de Gauss-Jordan).

• 1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por -1.
• 2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por -1.
• 3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por -2.
• 3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por -3.
• 3ª linha = 3ª linha multiplicada por -1.
• 2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por -1.

E a matriz inversa é a parte da direita.

Determinantes

Determinantes de 2ª ordem

O conceito de determinante está ligado ao de matriz, embora seja completamente distinto: enquanto matriz é o conjunto de elementos conforme já mencionado, determinante é o resultado de uma operação aritmética com todos os elementos de uma matriz, que obedece a uma determinada regra. Só se aplica a matrizes quadradas.

O prefixo det é colocado antes da matriz para indicar determinante. Ou, de forma mais compacta, os colchetes na matriz são substituídos por barras verticais para o mesmo efeito.

Para calcular um determinante de uma matriz $A_{2,2}$ (determinante de 2ª ordem):

Seja $A_{2,2}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$. Então $\det A={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc$

Determinantes de ordens superiores

Para determinantes de 3ª ordem, há um método conhecido como regra de Sarrus. Considere a matriz:

$A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}$

$\det A=aei+bfg+cdh-(gec+hfa+idb)$

Exemplo para 3ª ordem.

Quando a ordem é superior a 3, não há algoritmos simples a ponto de poderem ser generalizados por uma fórmula. Há, no entanto, dois métodos de decomposição que reduzem um determinante a determinantes de ordens menores. Um deles é conhecido como Teorema de Laplace, e vale para qualquer matriz. Outro método, mais simples, é a regra de Chió, mas há algumas restrições para que ele funcione numa matriz.

Teorema de Laplace

O Teorema de Laplace permite expandir um determinante de ordem $n$ em uma soma de $n$ determinantes de ordem $n-1$. A descrição do procedimento é a seguinte:

Considera-se uma fila (linha ou coluna) qualquer da matriz; somam-se os produtos de cada elemento desta linha por seus respectivos cofatores. O cofator de um elemento, por sua vez, é definido como o determinante da matriz que resta da eliminação da linha e coluna que passam pelo elemento, multiplicado pelo fator sinal $(-1)^{i+j}$ ― negativo se a soma do índice da coluna com o índice da linha for ímpar, e positivo do contrário. O processo pode ser repetido indefinidamente, até chegarmos num determinante que possa ser calculado trivialmente.

Para deixar o processo mais claro, considere uma matriz $A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}$. Podemos escolher qualquer linha ou coluna para calcular o determinante; vamos, por comodidade, escolher a segunda coluna, pois ela contém um zero ― o que nos dispensa de calcular um determinante, já que este seria multiplicado por zero. Então

$\det A=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot {\begin{vmatrix}-1&3\\2&-1\end{vmatrix}}+(-1)^{2+2}\cdot 1\cdot {\begin{vmatrix}-2&-3\\2&-1\end{vmatrix}}+(-1)^{3+2}\cdot 0\cdot {\begin{vmatrix}-2&-3\\-1&3\end{vmatrix}}$

$=-2{\bigg [}(-1)\cdot (-1)-3\cdot 2{\bigg ]}+1{\bigg [}(-2)\cdot (-1)-(-3)\cdot 2{\bigg ]}$

$=10+8=18$

Você pode verificar que esse mesmo valor será obtido se usarmos a expansão de Laplace por outra coluna ou linha, e também se usarmos a regra de Sarrus. De fato, podemos provar, algebricamente, que a regra de Sarrus é equivalente ao uso do teorema de Laplace para um determinante de ordem 3.

Algumas propriedades dos determinantes

1. Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas (ou seja, $detA^{t}=detA$).
2. Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal.
3. Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si ou proporcionais entre si, o determinante é nulo. Se uma das linhas ou colunas contiver apenas zeros, o determinante também será nulo. Mais genericamente, o determinante é nulo se uma fila for uma combinação linear das outras filas.
4. Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência.
5. Generalizando a propriedade anterior, se uma matriz n x n tiver todos elementos multiplicados por k, então seu determinante será multiplicado por kⁿ
6. Um determinante não se altera se aos elementos de uma linha ou coluna são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna.
7. O determinante de uma matriz é igual ao da sua transposta
8. Ao trocarmos duas linhas ou colunas, o valor do seu determinante é multiplicado por (-1)
9. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto os elementos da diagonal
10. O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes destas matrizes (Teorema de Binet)

Exemplo de aplicação de determinantes

Seja o sistema de equações lineares

$\left\{{\begin{matrix}a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z&=&b_{1}\\a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z&=&b_{2}\\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z&=&b_{3}\end{matrix}}\right.$

e o determinante

$D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}$

e os determinantes $D_{x}$, $D_{y}$ e $D_{z}$, obtidos substituindo-se, respectivamente, as colunas dos coeficientes de $x$, $y$ e $z$ pela coluna dos termos independentes:

$D_{x}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}$

$D_{y}={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\end{vmatrix}}$

$D_{z}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\end{vmatrix}}$

Então a solução do sistema é dada por:

$x={\frac {D_{x}}{D}};\quad y={\frac {D_{y}}{D}};\quad z={\frac {D_{z}}{D}}$

Esse método costuma ser chamado de método de Cramer.

Ver também

• Álgebra linear/Matrizes (livro com conteúdo mais avançado)