Matemática elementar/Trigonometria/Lei dos senos e dos cossenos
Lei dos cossenos
Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:
Demonstração
Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.
Considerando a figura, podemos observar três triângulos:
Destes, pode-se extrair as seguintes relações: e
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:
- Para
- Para
Substituindo e em
Entretanto, pode-se substituir a relação do triângulo na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:
Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:
Aplicação
A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.
Exemplos
- Considere um triângulo de lados e sendo que o comprimento de é 2 metros e o comprimento de é metros. Os lados e definem um ângulo de 30º. Calcule o comprimento de
- Resolução
- Dada a Lei dos Cossenos, tem-se que e portanto:
- O comprimento de é 1 metro.
- Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo eqüilátero também é eqüiângulo
- Resolução
- Dado um triângulo eqüilátero de lados e por definição tem-se que Sejam e os ângulos deste triângulo. Aplicando a Lei dos Cossenos:
- O mesmo vale para e
Lei dos senos
O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:
Demonstração
Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo qualquer inscrito em uma circunferência de raio A partir do ponto pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto e, ligando a formamos um novo triângulo retângulo em
Da figura, podemos perceber também que porque determinam na circunferência uma mesma corda Desta forma, podemos relacionar:
Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos e teremos as relações:
e em que é a medida do lado oposto a é a medida do lado oposto a e é uma constante.
Logo, podemos concluir que:
Lei das tangentes
Seja um triângulo não isósceles e não retângulo cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:
Demonstração
Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:
Usando uma propriedade das proporções, temos que:
Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:
Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.