Matemática financeira/Conceitos básicos

A Matemática Financeira é uma área da matemática que aplica seus conceitos no estudo da variação do dinheiro ao longo do tempo. A origem da Matemática Financeira está intimamente ligada a dos regimes econômicos, o surgimento do crédito e do sistema financeiro.

Todo o desenvolvimento da Matemática Financeira está ligado a utilidade do dinheiro, que gera dinheiro, ao contrario de sua simples propriedade, que por si só não apresenta rendimento.

Conceitos, Símbolos e Convenções

Um dos principais problemas no estudo da Matemática Financeira advem da Babilônia de termos, símbolos e conceitos desenvolvidos até hoje. Neste livro buscaremos utilizar os nomes e símbolos de conceitos na língua portuguesa.

Capital

Capital ou Principal é valor de uma quantia em dinheiro "na data zero", ou seja, no inicio de uma aplicação. Capital poder ser o dinheiro investido em uma atividade econômica, o valor financiado de um bem, ou de um empréstimo tomado.

Para evitar problemas com mudanças de unidades monetárias, e para tornar este livro mais amigável a leitores lusófonos, utilizaremos sempre uma unidade fictícia, chamada de unidade monetária, abreviada por u.m. ou representada por $, junto ao valor.

Capital pode ser apresentado sob várias siglas e sinônimos: C (de Capital); P (de Principal); VP (de Valor Presente); PV (de Present Value); C$_{0}$ (Capital Inicial).

Neste livro iremos representar capital por:

$C\,\!$

Juros

Os juros são a remuneração paga pelo uso do dinheiro. Pode ser tanto o rendimento de uma aplicação quanto o juro a ser pago em um financiamento. Diferencia-se do capital por que resulta da aplicação financeira, enquanto o capital é o motivo da aplicação financeira. Os Juros sempre são expressos em unidades monetárias, e representam o montante financeiro referente a uma aplicação.

Neste livro, o juro será representado por:

$J\,\!$

Outras representações: I.

Taxa de juros

A taxa de juros representa a razão entre o juro e o capital (J/C). O cálculo da taxa de juros é responsável pela observação da rentabilidade de uma operação financeira, sendo indispensável para a tomada de decisão de investimentos.

Normalmente é representada em forma percentual. Um valor percentual é um valor que representa a taxa de juros para um capital de 100 u.m. Para efeito de cálculo sempre é utilizado a taxa unitária, que é aquela que resulta diretamente no juro de um período, quando multiplicada pelo capital. Por exemplo: 0,05 = 5%

Neste livro, a taxa de juros será representada por:

$i\,\!$

Outro item importante a considerar nas taxas de juro, é que elas sempre devem estar de acordo com o período de capitalização. Pode-se ter taxas mensais, bimestrais, trimestrais, quadrimestrais, semestrais, anuais.

Observações: Perceba que se a taxa de juros for mensal o tempo deverá ser descrito em meses, e assim por diante, os dois devem estar na mesma unidade de tempo.

Além disso outra informação muito importante e que as vezes passa por despercebido é o a taxa de juros (i) deve estar em forma decimal durante o cálculo e não em percentual.

Taxa exata e comercial

A taxa exata é como chama-se a taxa de juros que considera os dias conforme o calendário anual, ou seja, 365 ou 366 dias no ano, 28, 29, 30 ou 31 dias no mês.

A taxa comercial é a convenção usada nos mercados, onde se considera meses de 30 dias, e anos de 360 dias (12 meses de 30 dias).

Taxa efetiva e nominal

A taxa efetiva é a taxa que está sendo referenciada ao período de capitalização.

A taxa nominal é a taxa dada em desconformidade com o período de capitalização.

Usualmente utiliza-se para conversão, a convenção comercial. Assim, uma taxa anual capitalizada mensalmente deve ser dividida pelo número de meses do ano para obter a taxa efetiva.

Prazo

O prazo ou período de capitalização é o tempo pelo qual o capital (C) é aplicado.

Neste livro, o prazo será representado por:

$n\,\!$

Outras representações: t.

Montante

Montante (também conhecido como valor acumulado) é a soma do Capital Inicial com o juro produzido em determinado tempo. Matematicamente:

$M=C+J\,\!$ (considerando-se $M\,\!$ a representação de Montante)

Como é o resultado da soma do capital com o juro, decorre que o montante é calculado apenas no fim da capitalização.

Outras representações: S (de Saldo); VF (de Valor Futuro); FV (de Future Value); F; C$_{n}$.

Prestação

Prestação é a parcela contínua que amortiza o Capital e os Juros

Neste livro, a prestação será representada por:

$R\,\!$ (de Renda)

Outras representações: PMT (de payment); Pgto (de Pagamento); a (Anuidade).

Desconto

O desconto é um abatimento oferecido sobre o valor nominal de um título ou sobre o montante de uma dívida a vencer, quando paga antecipadamente. Geralmente, o desconto é expresso em forma percentual.

Por exemplo, um produto que custa R$500,00 com desconto de 5% sairá R$ 500,00 - 0,05 x R$ 500,00 = R$475,00

Neste livro, o desconto será representado por:

$d\,\!$

Capitalização e Descapitalização

Chamamos de capitalização o processo de aplicação de uma taxa de juros sobre um capital, resultando de um juro e, por conseguinte de um montante. Quando queremos saber qual o valor de um montante, estamos querendo saber o resultado da capitalização do valor atual.

A descapitalização, por outro lado, corresponde a operação inversa, sabemos o valor do montante e queremos saber o valor atual. Fazemos descapitalização quando queremos saber, por exemplo, quanto precisamos investir hoje em um determinado regime de capitalização, durante um determinado número de períodos, para ter numa data futura um determinado montante.