Base decimal
Como todos já devem ter observado, o ser humano possui dez dedos nas mãos. Este pode ser o motivo para que a base de numeração mais utilizada hoje em dia seja a base 10. No entanto, o uso dos algarismos indo-arábicos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, juntamente com o 0, não é a única forma de descrever os números. Na ciência da computação, por exemplo, a base numérica usada pelos computadores é binária, utilizando apenas 0s e 1s. Percebemos então que o conceito de número independe da maneira como um determinado número é representado.
Por exemplo, quando dizemos 23 queremos dizer "2 dezenas e 3 unidades", isto é, . Na base binária, esta mesma quantidade seria representado por 10111, pois neste sistema de numeração posicional, a quantidade representada por cada dígito é duas vezes o valor que ele teria se ocupasse uma posição à direita. Assim,
Se considerarmos outras bases de numeração, além da base binária e da base dez, podemos perceber que existem diversas bases numéricas e que cada número tem infinitas representações, uma para cada base numérica existente.
Intuitivamente, porém, associamos os números e suas representações à base decimal que nós conhecemos tão bem. Fizemos isto, no exemplo cima, quando para mostrarmos que 10111 na base binária era equivalente ao 23. Mas quem determinou que "23" é a melhor representação para o número 23? Quem sabe a melhor representação dele seja, por exemplo, 9? Por que 9?
Analisando o relacionamento entre os número primos e as frações percebemos que os números podem ser particionados de acordo com seus divisores primos. Por exemplo:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
3, 6, 9, 12, 15, 18, ...
5, 10, 15, 20, 25, ...
Isto mostra que os números estão relacionados com os números primos e não com a base dez.
Observem que temos tentado descobrir qual a distribuição dos números primos entre os números compostos, quando na verdade, ELES é que geram os números compostos. Possivelmente é por isso que temos frações finitas apenas quando consideramos denominadores múltiplos de 2 e de 5, porque eles são os únicos que a nossa base numérica considera. Portanto, quando usamos apenas eles no denominador obtemos uma "representação" (na base 10) finita de um número. E quando qualquer outro fator primo entra no denominador de uma função, encontramos uma "representação decimal" (ou uma dízima) periódica.