Topologia/Enumerabilidade

Enumerabilidade

1) Um espaço topológico X diz-se que verifica o 1º Axioma da Contabilidade se a topologia em X tem uma base contável se a topologia em X tem uma sub-base contável.

2) Um espaço topológico X diz-se que verifica o 2º Axioma da Contabilidade se cada ponto de X tem uma base contável de vizinhanças.

3) Sendo X um espaço topológico, se x ∈ X tem uma base contável de vizinhanças, então tem uma base (V_n)_n de vizinhanças tal que
... ⊆ V₃ ⊆ V₂ ⊆ V₁.

4) Se X verifica o 1º Axioma da Contabilidade, então também verifica o 2º Axioma da Contabilidade.

5) Um sub-espaço dum espaço topológico que verifique o 1º Axioma da Contabilidade (resp. 2º Axioma da Contabilidade) também verifica o 1º Axioma da Contabilidade (resp. 2º Axioma da Contabilidade).

Densidade

Sendo X espaço topológico, diz-se que uma parte A de X é densa em X sse alguma das condições equivalentes se verifica:

1) fecho A = X.

2) ext A é vazio.

3) Todo o aberto de X intersecta A.

Proposição

Sendo X espaço topológico:

1) A é denso em fecho A.

2) Se A é denso em B e B é denso em X, então A é denso em X.

3) Ainda que A seja denso em X, pode ser que B ∩ A não seja denso em B, como se pode ver fazendo X = {1, 2, 3} com a topologia
{Ø, X, {1, 2}} sendo A = {2, 3} e B = {1, 3}.

Espaço separável

Sendo X um espaço topológico:

1) Diz-se que X é separável sse X contiver uma parte densa contável.

2) Se X verifica o 1º Axioma da Contabilidade, então X é separável.

Demonstração

2): Suponha-se que X verifica o 1º Axioma da Contabilidade. Seja β uma base contável da topologia em X. Para cada A ∈ β, seja um certo x_A ∈ A. Então B = {x_A: A ∈ β} é contável. Sendo U aberto de X, U é a união de elementos de β, portanto algum elemento de B está em U. Assim B é denso em X.

Proposição

Sejam X espaço topológico e (X_n)_n sucessão de partes de X cuja união é X. Para cada n, seja D_n contável denso em X_n. Então  ∪ _n D_n é contável e denso em X. Em particular, se um espaço é a união contável de sub-espaços separáveis, então ele é separável.

Demonstração

Evidentemente  ∪ _n D_n é contável. Será denso em X?
Seja U aberto de X. Então, para um certo n, U ∩ X_n não é vazio. Mas U ∩ X_n é aberto de X_n, logo existe x ∈ U ∩ X_n ∩ D_n.
Então x ∈  ∪ _n D_n, portanto U ∩ ( ∪ _n D_n) não é vazio. O que mostra que  ∪ _n D_n é denso em X.

Propriedade de Hausdorff

Sendo X espaço topológico, diz-se que X é de Haudsdorff sse, para quaisquer x, y ∈ X diferentes, existem U vizinhança de x e V vizinhança de y que são disjuntas.

Note-se que a sub-topologia numa parte dum espaço de Hausdorff é ainda de Hausdorff. E note-se também que, se X for de Hausdorff, qualquer que seja x ∈ X, {x} é fechado.

Note-se que a propriedade de Hausdorff afirma sobre a possibilidade de «separar» dois pontos do espaço. No entanto, atenção, o facto dum espaço topológico ser separável, não significa que seja de Hausdorff. É muito fácil criar um contra-exemplo.

Conjunto raro, categorização de Baire

Sejam X espaço topológico e A parte de X. Então:

1) Diz-se que A é raro sse int fecho A = Ø.

2) Diz-se que A é da 1ª Categoria de Baire sse A é a união contável de conjuntos raros.

3) Diz-se que A é da 2ª Categoria de Baire sse A não é da 1ª Categoria de Baire.

4) A é aberto e denso em X sse X - A é fechado e raro em X.

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