Topologia/Espaços métricos

Espaços métricos

Seja M um conjunto não-vazio e $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ uma função. Dizemos que $(M,d)$ é um espaço métrico se, para todo $x,y,z\in M$, a função d satisfizer as seguintes propriedades:

• M1: $d(x,y)\geq 0$;
• M2: $d(x,y)=d(y,x)$, simetria;
• M3: $d(x,y)=0\iff x=y$;
• M4: $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$, desigualdade trigonométrica.

Define-se, num espaço métrico M, a bola aberta de centro em x e raio $r>0$ $B_{r}(x)=\{y\in M:d(y,x)<r\}$.

Estrutura de espaço topológico

Pode-se provar que o conjunto $T=\{U\subset M:\forall x\in U,\exists \epsilon >0\mid B_{\epsilon }(x)\subset U\}$ é uma topologia sobre M. De fato, temos, por vacuidade, $\varnothing \in T$ e, para quaisquer $x\in M,\epsilon >0$, $B_{\epsilon }(x)\subset M$, donde $M\in T$. Sejam $A,B\in T$ e $x\in A\cap B$. Então existem $\epsilon _{1},\epsilon _{2}>0$ tais que $B_{\epsilon _{1}}(x)\subset A$ e $B_{\epsilon _{2}}(x)\subset B$. Escolhemos $\epsilon =\min\{\epsilon _{1},\epsilon _{2}\}$. Vemos que $B_{\epsilon }(x)\subset B_{\epsilon _{1}}(x)\subset A$ e $B_{\epsilon }(x)\subset B_{\epsilon _{2}}(x)\subset B$, logo $B_{\epsilon }(x)\subset A\cap B$ e $A\cap B\in T$. Seja $(A_{\lambda })_{\lambda }$ uma família em T. Se $x\in {\bigcup }_{\lambda }A_{\lambda }$, então, para algum μ, $x\in A_{\mu }$, donde existe um $\epsilon >0$ tal que $B_{\epsilon }(x)\subset A_{\mu }\subset {\bigcup }_{\lambda }A_{\lambda }$. Logo ${\bigcup }_{\lambda }A_{\lambda }\in T$. Isto completa a demonstração de que T é uma topologia sobre M.