Exibir código-fonte para Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (1)

<div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I'''''</div>
{{Nav2|[[Image:Griechisches Alphabet.png|30px]]|[[../Integrais|Integrais]]|[[../Análise de funções elementares (2)|Análise de funções elementares II]]}}

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O estudo das funções deste capítulo refere-se às funções não puramente algébricas, relacionadas a números transcendentais, algumas das quais já conhecemos da matemática elementar, porém é necessário um aprofundamento do tema para o ambiente acadêmico, onde temos que lidar com análises mais detalhadas e complexas.

==Logarítmicas==

A integral da função algébrica <math>f(x)=x^n \,\!</math> traz uma indefinição quando <math> n= -1 \,\!</math>:

<math> \int x^n d x = \frac {x^{n+1}}{n+1} ; n \ne -1 \,\!</math>

A existência desta indefinição nos leva a uma questão: Qual o procedimento para integrar a função: <math>f(x)=\frac{1}{x} \,\!</math>? A resposta é dada na análise numérica, calculando a integral pelos métodos de análise algébrica podemos chegar a seguinte conclusão:

 <math>\int^x_1 \frac{1}{t} d t = \ln |x| \,\!</math>

A função ln é chamada de logaritmo natural, a sua base é chamada de [[../Análise de funções elementares (1)#O número de Euler|número de Euler]], ele é um logarítmo conseqüente do cálculo da área sob a curva da função <math>f(x)=\frac {1}{x} \,\!</math>, que pode ser obtido numericamente usando a integral de Riemann e outras técnicas de cálculo numérico. Aproximações deste número são possíveis utilizando-se técnicas de aproximações sucessivas com o uso de séries, discutidas em [[Cálculo (Volume 3)]].

Todos os teoremas para logaritmos, que estão incluidos nos cursos de nível médio, podem ser obtidos a partir da análise do logaritmo natural, também chamado de logaritmo Neperiano.

===Teoremas===

Vejamos os principais teoremas para os logaritmos:

Nas citações abaixo, consideremos <math>f(x)= \ln x \,\!</math>,

====T36 - Produto====

<math>\ln a \cdot b = \ln a\ +\ \ln b \,\!</math>

'''Comprovação:'''

Da definição:

<math>\int^{ab}_1 \frac{1}{u} d u \,\!</math>

<math>\int^a_1 \frac{1}{u} d u + \int^{ab}_a \frac{1}{u} d u \,\!</math>

fazendo <math>u=at , d u =a d t</math> e quando <math>u=a , t=1</math>:

<math>\int^a_1 \frac{1}{u} d u + \int^b_1 \frac{1}{at} a d t \,\!</math>

<math>\int^a_1 \frac{1}{u} d u + \int^b_1 \frac{1}{t} d t \,\!</math>

O que comprova o teorema.

==== T37 - Razão====

<math>\ln \frac{a}{b} = \ln a\ -\ \ln b \,\!</math>


'''Comprovação:'''

Sendo <math>a = \frac{a}{b} \cdot b \,\!</math>:

<math>\ln a = \ln \frac{a}{b} \cdot b \,\!</math>

<math>\ln a = \ln \frac{a}{b} + \ln b \,\!</math>

logo:

<math> \ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b \,\!</math>

==== T38 - Potência ====

<math>\ln a^b = b \cdot \ln a \,\!</math>

'''Comprovação:'''

Sendo: 

<math> \ln a^b = \ln (a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \dots) \,\!</math> -> b vezes, que é:

<math> \ln a^b =  \ln a +\ln  a +\ln  a +\ln  a +\ln a +\ln  a +\ln a +\ln  a \dots) \,\!</math> -> b vezes, resultando:

<math> \ln a^b = b \cdot \ln a \,\!</math>

===Derivadas===

Da definição do logarítmo natural e a partir do [[../Integrais#Teorema fundamental do cálculo|teorema fundamental do cálculo]], podemos deduzir a derivada da função logarítmica natural, ou seja, se <math>f(x)=\ln x \,\!</math> que é a integral definida de <math> \frac {1}{x} \,\!</math>, então a derivada é:

<math>\frac{ d f(x)}{d x} = \frac {1}{x} \,\!</math>

===Integrais===

Para integração de funções logarítmicas, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema.


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==Exponenciais==

A função <math>f(x)=a^x \,\!</math> é chamada de função exponencial na base ''a'', todas as funções exponenciais são introduzidas a partir da definição do logaritmo natural ''ln x'' como sua função inversa. As funções exponenciais são estas em que a parte variável é o logaritmo, ou seja:

Se <math>\log_a b = x  \,\!</math>

então:

<math>a^x =b \,\!</math>

O que implica <math>b=f(x)\,\!</math>, tornando-o uma função, na qual podemos atribuir valores a ''x'' e obter uma imagem. O número ''a'' é chamado '''base''', este número é facilmente identificado nos logaritmos convencionalmente abordados na matemática elementar, mas qual é a base da função <math>\ln x\,\!</math> ?

Esta questão nos leva a um novo conceito abordado na próxima seção, '''o número de Euler'''.


===O número de Euler===

A base do logarítmo natural é o número de Euler, simbolizado por: ''e'', ele é obtido pela definição do logaritmo natural, esse número corresponde á área sob a curva da função: <math>f(x)= \frac {1}{x} \,\!</math>, quando seu valor é unitário, ou seja:

<math>\ln e = 1\,\!</math>,

mais formalmente:

<math>\int^e_{1} \frac {1}{x} d x = 1 \,\!</math>

O valor deste número pode ser encontrado por aproximação, utilizando-se os métodos de análise de seqûencias e séries, encontrados no livro: [[Cálculo (Volume 3)]].

A equação que fornece o valor do número de Euler é dada a seguir:

<math>e = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac {1}{n} \right)^n \,\!</math>

Nesta equação podemos observar que quanto mais alto o valor de ''n'' mais preciso se torna o valor de ''e''.

De maneira simplificada, com base nos conceitos até agora abordados podemos encontrá-la da seguinte maneira:

Se <math>f(x)= \ln x \,\!</math> então <math>f\ '(x) = \frac {1}{x} \,\!</math>, logo: <math>f\ '(1) =1 \,\!</math>

Por outro lado, pela definição:

<math>f\ '(x) = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (x+ \alpha) - \ln x}{\alpha} \,\!</math>

Para <math>f\ '(1) = 1 \,\!</math>:

<math>1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (1+ \alpha) - \ln 1}{\alpha} \,\!</math>

<math>1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (1+ \alpha)}{\alpha} \,\!</math>

<math>1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {1}{\alpha} \ln (1+ \alpha) \,\!</math>

<math>1 = \lim_{\alpha \to 0}  \ln (1+ \alpha)^{\frac {1}{\alpha}} \,\!</math>

<math>e = \lim_{\alpha \to 0} (1+ \alpha)^{\frac {1}{\alpha}} \,\!</math>

Sendo: <math>\alpha = \frac {1}{n} \,\!</math> e <math>\lim_{\alpha \to 0} \alpha= \lim_{n \to \infty} \frac {1}{n} \,\!</math>

Concluimos que:

<math>e = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac {1}{n} \right)^n \,\!</math>

===Teoremas===

A maioria dos teoremas relacionados, têm origem nas conclusões obtidas no estudo do  logarítmo natural, dos quais relacionamos os mais usados:

==== T39 - Soma ====

Seja a função <math>f(x,y)= e^{x+y} \,\!</math>, pode-se afirmar que:

<math>f(x,y)= e^x \cdot e^y \,\!</math>

'''Comprovação:'''

Considerando: <math> x=\ln\ a \,\!</math> e <math>y=\ln\ b \,\!</math>,

<math>x+y=\ln\ a\ +\ \ln\ b \,\!</math>

<math>x+y=\ln\ {ab} \,\!</math>

logo:

<math>e^{x+y} = e^{\ln\ {ab}} \,\!</math>

<math>e^{x+y} = ab \,\!</math>

sendo: <math>a = e^x\,\!</math> e <math>b=e^y \,\!</math>,

<math>e^{x+y}= e^x \cdot e^y \,\!</math> 

O que comprova o teorema.

==== T40 - Subtração ====

De forma similar à análise anterior, sendo a função <math>f(x,y)= e^{x-y}\,\!</math>, pode-se afirmar que:

<math>f(x,y)= \frac{e^x}{e^y}\,\!</math>

'''Comprovação:'''

Considerando: <math> x=\ln\ a \,\!</math> e <math>y=\ln\ b \,\!</math>,

<math>x-y=\ln\ a\ -\ \ln\ b\,\!</math>

<math>x-y=\ln\ \frac{a}{b}\,\!</math>

logo:

<math>e^{x-y} = e^{\ln \frac{a}{b}}\,\!</math>

<math>e^{x-y} = \frac{a}{b}\,\! </math>

sendo: <math>a = e^x\,\!</math> e <math>b=e^y\,\!</math>,

<math>e^{x-y}= \frac{e^x}{e^y}\,\!</math> 

O que comprova o teorema.

==== T41 - Potência ====

Seja a função <math>f(x,y)=\left(e^x\right)^y \,\!</math>, pode-se afirmar que:

<math>f(x,y)=e^{xy}\,\!</math>

'''Comprovação:'''

<math>f(x,y)=(e^x)^y\,\!</math>

<math>f(x,y)=e^{{\ln(e^x)}^y}\,\!</math>

<math>f(x,y)=e^{y \cdot \ln(e^x)}\,\!</math>

<math>f(x,y)=e^{y \cdot x}\,\!</math>

O que comprova o teorema.

===Derivadas===

Consideremos que <math>f(x)=e^x\,\!</math>, e conseqüentemente: <math> x = \ln f(x) \,\!</math>, se derivarmos implicitamente este expressão:

<math> d x = \frac {1}{f(x)} d f(x) \,\!</math>

Curiosamente, teremos:

<math> f(x) = \frac{d f(x)}{d x} \,\!</math>

<math> f(x) = f\ '(x)\,\! </math>

Ou seja, a função exponencial natural é invariável durante o processo de derivação, o que traz uma série de implicações simplificadoras para estas funções. 

Por outro lado se <math> f(x) = a^x \,\!</math>, temos que:

<math>a = e^{\ln a}\,\!</math>

Fazendo <math>u = x \cdot  \ln a\,\!</math> e <math>f(x)=e^u\,\!</math>, teremos:

<math>f\ '(x) = e^u \cdot \frac {d u}{\mbox {d} x}\,\!</math>

Se <math>\frac {d u}{\mbox {d} x} = \ln a \,\!</math>, concluimos que:

 <math> f\ '(x) = a^x \cdot \ln a\,\!</math>

Que é adotada como uma derivada mais genérica, pois pode ser empregada em qualquer exponencial, pois inclui correção para o fator da base.

===Integrais===

Como não poderia ser diferente, o valor da integral da função exponencial natural <math>f(x)=e^x \,\!</math> é a própria função, conforme a regra da reversibilidade entre a derivada e a integral, apenas sendo necessária a devida observação da base, para eventual correção da diferencial e conseqüente introdução de fator de correção, nos casos em que a função torna-se composta.

Desta forma, temos:

 <math>\int e^x d x = e^x + C \,\!</math>, 

Sendo ''C'' constante.


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==Logarítmicas com outras bases==

Como foi visto durante o ensino médio, os logaritmos têm uma definição direta e que denota a sua finalidade de expressar o valor do expoente em uma operação exponencial, a definição pura é dada da seguinte forma:

Se <math> x=a^n \,\!</math> então,

 <math>\log_a x = n \,\!</math>

Onde: ''a'' é chamada base do logaritmo, ''x'' é o logaritmando e ''n'' é o expoente.

O logaritmo é, portanto, a operação pela qual se obtém o expoente necessário para que a base seja elevada, numa operação exponencial e se obtenha o número ''x''.

A função logarítmica de base ''a'' pode ser expressa da seguinte forma:

<math>f(x)=\log_a x \,\!</math>

O que nos possibilita encontrar um valor para cada ''x'' expresso na equação.

===Mudança de base===

Analisemos agora a possibilidade de encontrar uma função logarítmica de uma base ''a'' e transformá-la em uma função logarítmica de base natural, ou outra base qualquer:

Seja a função <math>y=\log_a x \,\!</math>, podemos dizer que:

<math>x= e^{\ln x} \,\!</math> e que <math>a=e^{\ln a} \,\!</math>,

como: <math>x =  a^y \,\!</math>,

<math> x = (e^{\ln a})^y \,\!</math>,

<math> x = e^{y \cdot \ln a} \,\!</math>,

<math> \ln x = y \cdot \ln a \,\!</math>, 

O que nos possibilita afirmar que:

 <math>y = \frac{\ln x}{\ln a} </math>,

ou 

 <math>\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} </math>.

Note que a analogia serve para funções logarítmicas de qualquer base, visto que podemos substituir <math>\ln x \,\!</math> por <math>\log_z x \,\!</math> sendo ''z'' a base que substituirá ''e'' na análise anterior.

O que nos possibilita considerar que quando temos duas bases, sejam: ''a'' e ''b'', podemos promover a troca das bases, de forma que:

 <math>\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} </math>

===Derivadas===

A derivada da função logarítmica com base diferente de ''e'' pode ser feita por substituição da base. Considerando <math>f(x)=\log_a x </math>, temos que:

<math>\log_a x = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x </math>,

<math>f(x) = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x </math>,

logo:

<math>f\ '(x) = \frac {d \left( \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x \right)}{d x} </math>

<math>f\ '(x) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac {d (\ln x)}{d x} </math>

<math>f\ '(x) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac {1}{x} </math>

Que nos dá a derivada:

 <math>f\ '(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a} </math>


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== Trigonométricas I ==

A trigonometria, tal qual vista na matemática elementar, está relacionada com as relações métricas do triângulo retângulo e do ciclo trigonométrico, agora introduziremos o estudo infinitesimal das funções trigonométricas que são largamente utilizadas nas ciências exatas. 

===Conceitos básicos (Radianos)===

Em um plano definido pelos eixos ''x'' e ''y'' podemos estabelecer coordenadas cartesianas para cada ponto, o que nos permite identificar cada um dos pontos em qualquer posição do plano, existe outra maneira de encontrar um ponto neste plano; se quisermos estabelecer uma relação triangular podemos determinar a posição de cada ponto no plano da seguinte forma:

[[Imagem:Ciclotrig.png]]

'''Figura 5'''

Imagine que cada ponto está numa distãncia ''R'' do ponto <math> (0,0) </math> em um plano cartesiano definido por pontos <math> (x,y) \,\!</math>, da mesma forma a reta ''R'', que é definida entre os pontos <math> (0,0) \to (x,y) \,\!</math>, forma um ângulo com o eixo ''x'', que chamaremos de <math>\alpha \,\!</math>, note que podemos identificar qualquer dos pontos no plano a partir de uma reta ''R'' e um ângulo <math> \alpha \,\!</math>.

Observemos que ''R'', quando fixa, é uma reta que determina um conjunto de pontos  em torno do ponto <math>(0,0) \,\!</math>, se fizermos <math>\alpha \,\!</math> variar em todos os valores possiveis teremos uma circunferência. Quando fazemos o valor de ''R'' variar teremos diferentes valores de ''x'' e ''y'', porém a relação entre eles sempre será a mesma. 

Curiosamente, há uma relação entre o perímetro do círculo e o seu diâmetro, ela se apresenta constante qualquer que seja o raio do círculo; o resultado desta relação é um número transcedental chamado '''PI''', representado pela letra grega de mesmo nome: <math>\pi \,\!</math>. Resgatando esta relação para a nossa análise podemos dizer que, se chamarmos o perímetro da circunferência, formada no gráfico, de <math> l \,\!</math> e admitirmos um diâmetro de <math> 2 R \,\!</math>, então teremos:

<math>\frac {l}{2 R} = \pi </math>

Que resulta em:

 <math>l= 2 \pi R \,\!</math>

Que é uma relação bastante esclarecedora, visto que nos mostra uma dependência linear entre o raio e o comprimento de um fio imaginário que pudesse ser usado para seguir o contorno da circunferência do gráfico. Se o raio for unitário teremos um valor de referência para ''l'', que poderá ser usado para encontrar qualquer comprimento de circunferência no gráfico, bastando para isto multiplicá-lo pelo raio, este valor de referência está ligado à circunferência fechada. Por outro lado, se fizermos com que ''R'' se desloque de um ângulo nulo, ou seja, que saia do eixo ''x'' em direção a ''y'', formando um ângulo <math>\alpha \,\!</math>, teremos pedaços de circunferência, que chamamos de '''arcos''', considerando que temos um raio unitário e que percorremos um pedaço da circunferência para cada ângulo "<math> \alpha \,\!</math>" que tomamos, temos uma correspondência entre '''ângulo e arco''', ou seja: podemos nos referir a arcos como unidades de ângulos, esta unidade angular é chamada de '''Radiano'''. Qualquer círculo forma <math>2 \pi \,\!</math> radianos e todas as relações entre os pontos da circunferência que o contorna e os eixos cartesianos podem ser referenciadas como relações entre partes desta medida.

Como o radiano é uma medida real, isto nos leva a outra questão: O que determina o sinal '''negativo''' ou '''positivo''' neste valor?

Acontece uma variação destes valores quando nos deslocamos de um ponto a outro da circunferência, quando saimos do eixo ''x'' em direção ao ponto <math>P_1 \,\!</math> o ângulo cresce, portanto temos que concluir que é positivo, recuando-o de encontro ao eixo ''x'' os valores diminuem, portanto se ultrapassarmos o eixo ''x'' o valor deve ser menor que zero, nos revelando um ângulo negativo.

===Seno e cosseno===

Temos, portanto, uma circunferência dentro do plano cartesiano e seus pontos relacionados ao raio '''''R''''' e ao ângulo '''<math>\alpha \,\!</math>''', são referenciados pelas variáveis ''x'' e ''y'' no mesmo plano, agora imaginemos funções para que seja possível a partir do raio e do ângulo encontrar as variáveis, estas funções são o '''seno''' e o '''cosseno'''. 

A função '''seno''', simbolizada como:

 <math>\ \mbox{sen} (\alpha) \,\!</math>

Nos dá o valor da variável ''y'', ou seja, a altura do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo ''y'', quando o raio '''''R''''' é unitário, caso não seja fazemos <math>y=R \ \mbox{sen} (\alpha) \,\!</math>. 

A função '''cosseno''', simbolizada como:

 <math>\cos(\alpha) \,\!</math>

Nos dá o valor da variável ''x'', ou seja, a distância do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo ''x''quando o raio '''''R''''' é unitário, caso não seja fazemos <math>x=R \cos(\alpha) \,\!</math>. 

As funções '''seno''' e '''cosseno''' são periódicas, ou seja, pela natureza do ciclo trigonométrico, quando temos um valor em ''x'' maior que <math> 2 \pi \,\!</math> temos a representação de um ciclo completo mais um ângulo residual, na verdade o valor representa este ângulo residual, o que nos leva a constatação que sempre será calculado o valor do seno ou cosseno do resto da operação <math> \frac {x}{2 \pi} </math> quando um ângulo maior que <math>2 \pi </math> for sugerido para ''x''.

{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\sin x\ ,\ \cos x</math> ou <math>\sin (x)\ ,\ \cos (x)</math> para representação de seno e cosseno respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}}

Alguns valores de senos e cossenos de certos arcos são perfeitamente dedutíveis através da observação do ciclo, são eles:

{|style="width:400px" border="1" cellspacing="0"  
|+Senos e cossenos notáveis
|-
!''Ângulo''
!align=center |0
!align=center |<math> \frac {\pi}{2} \,\!</math>
!align=center |<math> {\pi} \,\!</math>
!align=center |<math> \frac {3 \pi}{2} \,\!</math>
|- 
!<math> \ \mbox{sen} (x) </math> 
|align=center |0  
|align=center |1
|align=center |0
|align=center |-1
|-
!<math> \cos(x) \,\!</math> 
|align=center |1
|align=center |0
|align=center |-1
|align=center |0
|}

Observando o gráfico podemos também concluir que o sinal do seno é idêntico ao sinal do ângulo, enquanto que o cosseno não acompanha o sinal do ângulo, de forma que cossenos de ângulos negativos são iguais a cossenos dos valores absolutos dos ângulos, ou seja:

sendo <math>a>0 \,\!</math>,

 <math>\ \mbox{sen} (-a)=-\ \mbox{sen} (a) \,\!</math>
 
enquanto que:

 <math>\cos(-a)=\cos(a) \,\!</math>

Outros senos e cossenos podem ser obtidos pelas relações métricas no triângulo e são largamente utilizados, são:


{|style="width:600px" border="1" cellspacing="0"  
|+Senos e cossenos mais comuns
|-
!''Ângulo''
|align=center |<math> \frac {\pi}{6} </math>
|align=center |<math> \frac {\pi}{4} </math>
|align=center |<math> \frac {\pi}{3} </math>
|align=center |<math> \frac {2\pi}{3} </math>
|align=center |<math> \frac {3\pi}{4} </math>
|align=center |<math> \frac {5\pi}{6} </math>
|align=center |<math> \frac {7\pi}{6} </math>
|align=center |<math> \frac {5\pi}{4} </math>
|align=center |<math> \frac {4\pi}{3} </math>
|align=center |<math> \frac {5\pi}{3} </math>
|align=center |<math> \frac {7\pi}{4} </math>
|align=center |<math> \frac {11\pi}{6} </math>
|- 
!<math> \ \mbox{sen} (x) </math> 
|align=center |<math>\frac{1}{2}</math>  
|align=center |<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>  
|align=center |<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>  
|align=center |<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> 
|align=center |<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>  
|align=center |<math>\frac{1}{2}</math> 
|align=center |<math>-\frac{1}{2}</math>  
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>  
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>  
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> 
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>  
|align=center |<math>-\frac{1}{2}</math> 
|-
!<math> \cos(x) \,\!</math> 
|align=center |<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> 
|align=center |<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>  
|align=center |<math>\frac{1}{2}</math> 
|align=center |<math>-\frac{1}{2}</math>  
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>  
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>  
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> 
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>  
|align=center |<math>-\frac{1}{2}</math> 
|align=center |<math>\frac{1}{2}</math>  
|align=center |<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>  
|align=center |<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>  
|}


==== Identidades (1) ====

As equações desta seção são conseqüência das características dos senos e cossenos, seu comportamento cíclico e sua relação com uma circunferência de raio unitário lhes conferem uma excelente operatividade, possibilitando-nos fácil intercâmbio entre as mesmas.

==== I-1 Identidade relacional básica ====

As funções seno e cosseno estão relacionadas pela equação:

 <math>sen^2 (a) + cos^2 (a) = 1 \,\!</math>

'''Comprovação:'''

Observando o ciclo trigonométrico, temos um triângulo cujos catetos são: <math>\ \mbox{sen} (a)</math> e <math>\cos(a)</math> e sua hipotenusa é 1, portanto a identidade é conseqüente do conhecido teorema de Pitágoras.

==== I-2 Cosseno da soma ====

Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o cosseno de sua soma é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28a%2Bb%29 no Wolfram Alpha]</ref>:

 <math>\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) \,\!</math>

'''Comprovação:'''

Nos pontos ''A'' e ''B'' do ciclo trigonométrico, temos os arcos para os ângulos ''a'' e ''b'':

[[Imagem:Soma_sen_cos.png]]

'''Figura 6'''

A distância entre os pontos P e (A+B) é igual à distância entre  -A e B, o quadrado das duas é:

<math>[\cos(a+b)-1]^2 + sen^2 (a+b) = [\cos(b)-\cos(-a)]^2 + [\ \mbox{sen} (b)-\ \mbox{sen} (-a)]^2 \,\!</math>

Da identidade básica:

<math>cos^2 (a+b) - 2\cos(a+b) +1 + sen^2 (a+b) = cos^2 (b) - 2 \cos(-a)\cos(b) + cos^2 (-a)  + sen^2 (b)-2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b)+ sen^2 (-a) \,\!</math>

<math>cos^2 (a+b) - 2\cos(a+b) +1 + 1 - cos^2 (a+b) = cos^2 (b) - 2 \cos(-a)\cos(b) + cos^2 (-a)  + sen^2 (b)-2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b)+ sen^2 (-a) \,\!</math>

<math>- 2\cos(a+b) +1 + 1 = [cos^2 (b) + sen^2 (b)] - 2 \cos(-a)\cos(b) + [cos^2 (-a) + sen^2 (-a)] -2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) \,\!</math>

<math>- 2\cos(a+b) +2 = 1 - 2 \cos(-a)\cos(b) + 1 -2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) \,\!</math>

<math>- 2\cos(a+b) = - 2 \cos(-a)\cos(b) - 2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) \,\!</math>

<math>\cos(a+b) = \cos(-a)\cos(b) + \ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) \,\!</math>

Como <math> \ \mbox{sen} (-a) = -\ \mbox{sen} (a) \,\!</math> e <math>\cos(-a)=\cos(a) \,\!</math> :

<math>\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) \,\!</math>

O que comprova a identidade.

==== I-3 Cosseno da diferença ====

Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o cosseno de sua diferença é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28a-b%29 no Wolfram Alpha]</ref>:

 <math>\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) \,\!</math>

'''Comprovação:'''

Do cosseno da soma:

<math>\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) \,\!</math>

Substituindo ''b'' por ''-b'':

<math>\cos(a+(-b)) = \cos(a)\cos(-b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (-b) \,\!</math>

<math>\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) </math>

O que comprova a identidade.

==== I-4 Equivalência angular ====

Se o ângulo a é <math>\frac{\pi}{2} \,\!</math> e b é x, então:

<math>\cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) =  \cos \left(\frac{\pi}{2} \right) \cos(x) + \ \mbox{sen} \left(\frac{\pi}{2} \right) \ \mbox{sen} (x) \,\!</math>

<math>\cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) =  0 + 1 \cdot \ \mbox{sen} (x) \,\!</math>

logo:

 <math>\cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) =  \ \mbox{sen} (x) \,\!</math>

Por outro lado, se:

<math>y = \left(\frac{\pi}{2} - x \right) \,\!</math> e

<math>x = \left(\frac{\pi}{2} - y \right) \,\!</math>, obtemos:

 <math>\ \mbox{sen} \left(\frac{\pi}{2} - y \right) =  \cos(y) \,\!</math>


==== I-5 Seno da soma ====

Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o seno de sua soma é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sen%28a%2Bb%29 no Wolfram Alpha]</ref>:

 <math>\ \mbox{sen} (a+b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (b)\cos(a) \,\!</math>

'''Comprovação:'''

Sendo <math>\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) </math>  e  <math>\cos \left[\frac{\pi}{2} - (a+b) \right] =  \ \mbox{sen} (a+b)  </math>, temos:

<math>\ \mbox{sen} (a+b) = \cos \left [\frac{\pi}{2} - (a+b) \right ] </math>

<math>\ \mbox{sen} (a+b) = \cos \left [\left(\frac{\pi}{2}-a \right) -b\right ] </math>

<math>\ \mbox{sen} (a+b) = \cos \left(\frac{\pi}{2}-a \right)\cos(b) + \ \mbox{sen} \left(\frac{\pi}{2}-a \right)\ \mbox{sen} (b)</math>

<math>\ \mbox{sen} (a+b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (b)\cos(a) \,\!</math>

O que comprova a identidade.

==== I-6 Seno da diferença ====

Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o seno de sua diferença é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28a%2Bb%29 no Wolfram Alpha]</ref>:

 <math>\ \mbox{sen} (a-b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)-\ \mbox{sen} (b)\cos(a) \,\!</math>

'''Comprovação:'''

Se <math>\ \mbox{sen} (a+b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (b)\cos(a) \,\!</math>,

Substituindo ''b'' por ''-b'', temos:

<math>\ \mbox{sen} (a-b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(-b)+\ \mbox{sen} (-b)\cos(a) \,\!</math>

e <math>\ \mbox{sen} (-b)=-\ \mbox{sen} (b) \,\!</math> enquanto que <math>\cos(-b)=\cos(b) \,\!</math>, logo:

<math>\ \mbox{sen} (a-b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)-\ \mbox{sen} (b)\cos(a) \,\!</math>

O que comprova a identidade.

==== I-7 Produto de dois senos ====

Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o produto de seus senos é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sen%28a%29sen%28b%29 no Wolfram Alpha]</ref>:

 <math> \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) = \frac{1}{2} \cdot [\cos(a-b)-\cos(a+b)] \,\!</math>

'''Comprovação:'''

Considerando a identidade do [[#I-3 Cosseno da diferença|cosseno da diferença de dois ângulos]] e subtraindo de cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do [[#I-2 Cosseno da soma|cosseno da soma de dois ângulos]]:

<math>\frac{ \begin{matrix} \cos(a-b) & = &\ \cos(a)\cos(b) + \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b)\\
                                      & - & \\
                            \cos(a+b) & = &\ \cos(a)\cos(b) - \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b)\\ 
\end{matrix} }{ \begin{matrix}
                   \cos(a-b)-\cos(a+b)& = &2 \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b)
\end{matrix}}
</math>

O que comprova a identidade.

==== I-8 Produto de dois cossenos ====

Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o produto de seus cossenos é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28a%29cos%28b%29 no Wolfram Alpha]</ref>:

 <math> \cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2} \cdot [\cos(a+b)+\cos(a-b)] \,\!</math>

'''Comprovação:'''

Considerando a identidade do [[#I-2 Cosseno da soma|cosseno da soma de dois ângulos]] e somando a cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do [[#I-3 Cosseno da diferença|cosseno da diferença de dois ângulos]]:

<math>\frac{ \begin{matrix} \cos(a+b) & = &\ \cos(a)\cos(b) - \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b)\\
                                      & + & \\
                            \cos(a-b) & = &\ \cos(a)\cos(b) + \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b)\\ 
\end{matrix} }{ \begin{matrix}
                    \cos(a+b)+\cos(a-b)& = & +2 \ \mbox{cos} (a)\ \mbox{cos} (b)
\end{matrix}}
</math>

O que comprova a identidade.

==== I-9 Produto de seno e cosseno ====

Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o produto do seno de ''a'' pelo cosseno de ''b'' é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sen%28a%29cos%28b%29 no Wolfram Alpha]</ref>:

 <math> \ \mbox{sen} (a)\cos(b) = \frac{1}{2} \cdot [\ \mbox{sen} (a+b)+\ \mbox{sen} (a-b)] </math>

'''Comprovação:'''

Considerando a identidade do [[#I-5 Seno da soma|seno da soma de dois ângulos]] e somando a cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do [[#I-6 Seno da diferença|seno da diferença de dois ângulos]]:

<math>\frac{ \begin{matrix} \ \mbox{sen} (a+b) & = & \ \mbox{sen} (a)\cos(b)+\cos(a)\ \mbox{sen} (b)\\
                                     & + & \\
                            \ \mbox{sen} (a-b) & = & \ \mbox{sen} (a)\cos(b)-\cos(a)\ \mbox{sen} (b)\\ 
\end{matrix} }{ \begin{matrix}
                    \ \mbox{sen} (a+b)+\ \mbox{sen} (a-b)& = &2 \ \mbox{sen} (a)\cos(b)
\end{matrix}}
</math>

O que comprova a identidade.

==== I-10 Soma de dois senos ====

Sejam os ângulos ''p'' e ''q'', a soma dos senos de ''p'' e de ''q'' é:

 <math> \ \mbox{sen} (p)+\ \mbox{sen} (q) = 2\ \mbox{sen} \left(\frac{p+q}{2} \right)\cos \left(\frac{p-q}{2} \right) </math>

'''Comprovação:'''

Podemos dizer que:

<math>\frac{\left \{ \begin{matrix} a+b & = & p\\
                                      & + &  \\
                                  a-b & = & q 
\end{matrix}\right. }{ \begin{matrix} 
                           & & & 2a  & = & p+q\\
                                                \\
                                   a  & = & \frac{p+q}{2} &;& b  & = & \frac{p-q}{2}
\end{matrix}}
</math>

substituindo na identidade:

<math>
\begin{matrix}
\ \mbox{sen} (a+b)+\ \mbox{sen} (a-b)& = &2 \ \mbox{sen} (a)\cos(b)\\
\ \mbox{sen} (p) + \ \mbox{sen} (q)  & = &2 \ \mbox{sen} \left(\frac{p+q}{2} \right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)
\end{matrix}
</math>

O que comprova a identidade.

==== I-11 Soma de dois cossenos ====

Sejam os ângulos ''p'' e ''q'', a soma dos cossenos de ''p'' e de ''q'' é:

 <math> \cos(p)+\cos(q) = 2\cos \left(\frac{p+q}{2} \right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right) </math>

'''Comprovação:'''

Seguindo a analogia anterior:

<math>
\begin{matrix}
\cos(a+b)+\cos(a-b)& = &2 \cos(a)\cos(b)\\
\cos(p) + \cos(q)  & = &2 \cos \left(\frac{p+q}{2} \right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)
\end{matrix}
</math>

O que comprova a identidade.

==== I-12 Diferença de dois senos ====

Sejam os ângulos ''p'' e ''q'', a diferença dos senos de ''p'' e de ''q'' é:

 <math> \ \mbox{sen} (p)-\ \mbox{sen} (q) = 2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\ \mbox{sen} \left(\frac{p-q}{2}\right) </math>

'''Comprovação:'''

substituindo ''q'' por ''-q'' em:

<math>
\begin{matrix}
\ \mbox{sen} (p) + \ \mbox{sen} (q)  & = &2 \ \mbox{sen} \left(\frac{p+q}{2} \right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\\
\ \mbox{sen} (p) + \ \mbox{sen} (-q)  & = &2 \ \mbox{sen} \left(\frac{p-q}{2} \right) \cos \left(\frac{p+q}{2}\right)
\end{matrix}
</math>

O que comprova a identidade.

==== I-13  Diferença de dois cossenos ====

Sejam os ângulos ''p'' e ''q'', a diferença dos cossenos de ''p'' e de ''q'' é:

 <math> \cos(p)-\cos(q) = -2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2} \right) </math>

'''Comprovação:'''

substituimos ''q'' e ''q'', por <math>\frac{p+q}{2}</math> e <math>\frac{p-q}{2}</math> em:

<math>
\begin{matrix}
\cos(a-b)-\cos(a+b) & = &2\cos(a)\cos(b)\\
\cos(q) - \cos(p)  & = &2 \cos \left(\frac{p+q}{2} \right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\\
\cos(p) - \cos(q)  & = &-2 \cos \left(\frac{p+q}{2} \right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)
\end{matrix}
</math>

O que comprova a identidade.

==== Limíte trigonométrico fundamental ====

Precisaremos de um limite fundamental nas próximas seções, se trata de um limite que é utilizado na dedução das derivadas do seno e do cosseno, faremos sua dedução nesta seção. Considere o ciclo trigonométrico representado a seguir:


[[Imagem:Limite_sen.png]]

'''Figura 7'''

A '''figura 7''' mostra a representação de um ângulo <math> \alpha \,\!</math> no ciclo trigonométrico, o nosso propósito é deduzir o seguinte limite:

 <math> \lim_{\alpha \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (\alpha)}{\alpha} </math>

Para isto, imagine o triângulo  inscrito na circunferência, podemos dizer que o segmento de reta ''n'' é uma aproximação grosseira do arco <math>\alpha \,\!</math>, porém observe que quando o ângulo se aproxima de zero o segmento se torna mais parecido com o respectivo ângulo, algébricamente podemos expressar que:

<math>\lim_{\alpha \to 0} \frac{1}{\alpha} =\lim_{n \to 0} \frac {1}{n} </math>

Por outro lado façamos o cálculo do valor do ''n''; observando o triângulo podemos dizer que:

<math>n^2 = sen^2 (\alpha) + [1-\cos(\alpha)]^2 \,\!</math>

<math>n^2 = 2[1-\cos(\alpha)] \,\!</math>

Logo:

<math> cos (\alpha) = \left (1-\frac{n^2}{2}\right) </math>

<math> 1 - sen^2 (\alpha) = \left (1-\frac{n^2}{2}\right)^2 </math>

Simplificando temos:

<math>\ \mbox{sen} (\alpha) = n \left [1 - \frac{n^2}{4} \right]^{\frac{1}{2}} </math>

Voltando para o nosso limite, temos que usar as nossas equações anteriores desta forma:

<math>\left[\lim_{\alpha \to 0} \frac{1}{\alpha} =\lim_{n \to 0} \frac {1}{n} \right] \cdot \ \mbox{sen} (\alpha) \,\!</math>

<math>\lim_{\alpha \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (\alpha)}{\alpha} =\lim_{n \to 0} \frac {\ \mbox{sen} (\alpha)}{n} </math>

Substituindo o valor do seno no lado da equação relaciondado ao ''n'', teremos:

<math>\lim_{\alpha \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (\alpha)}{\alpha} =\lim_{n \to 0} \left[1-\frac {n^2}{4}\right]^{\frac{1}{2}} </math>

O que nos leva ao resultado:

 <math>\lim_{\alpha \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (\alpha)}{\alpha} = 1 </math>

A interpretação desse limite é a seguinte:

Uma vez que o ângulo diminui até valores próximos de zero e o arco tende a se assemelhar a uma reta em regiões próximas do zero, o valor do seno é igual ao valor do arco no limite, quando o seu valor se aproxima de ser nulo.

==== Derivada do seno ====

Agora podemos verificar qual a variação da função seno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao seno, temos:

<math>f(x)=\ \mbox{sen} (x) \,\!</math>

<math>f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (x+h)-\ \mbox{sen} (x)}{h} </math>

Aplicando o seno da soma:

<math>f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (x)\cos(h)+\ \mbox{sen} (h)\cos(x)-\ \mbox{sen} (x)}{h} </math>

<math>f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (x)\cos(h)}{h}+\lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (h)\cos(x)}{h}-\lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (x)}{h} </math>

Aplicando os limites:

<math>f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (h)}{h}\cos(x) </math>

Temos, então, o limite fundamental que é igual a ''1'', logo:

 <math>f\ '(x) = \cos(x) \,\!</math>

==== Derivada do cosseno ====

Também podemos verificar qual a variação da função cosseno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao cosseno, temos:

<math>f(x)=\cos(x) \,\!</math>

<math>f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} </math>

Aplicando o seno da soma:

<math>f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)\cos(h)-\ \mbox{sen} (x)\ \mbox{sen} (h)-\cos(x)}{h} </math>

<math>f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)\cos(h)}{h}-\lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (x)\ \mbox{sen} (h)}{h}-\lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)}{h} </math>

Aplicando os limites:

<math>f\ '(x) = \lim_{h \to 0} -\frac{\ \mbox{sen} (h)}{h}\ \mbox{sen} (x) </math>

Novamente temos o limite fundamental, logo:

 <math>f\ '(x) = -\ \mbox{sen} (x) \,\!</math>


==== Integral do seno ====

Como conseqüência do resultado da derivada do seno, podemos deduzir que a sua integral, como operação inversa é:

 <math>\int \ \mbox{sen} (x) dx = -\cos(x) + C </math>

Cuja constante '''C''' é a constante devido a indefinição no processo de  antidiferenciação, conforme já estudamos anteriormente.

==== Integral do cosseno ====

Segundo o mesmo princípio colocado no caso da integral do seno, podemos afirmar que a operação de integração do cosseno é definida por:

 <math>\int \cos(x) dx = \ \mbox{sen} (x) + C </math>

Cuja constante '''C''' é a constante devido a indefinição no processo de  antidiferenciação

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== Notas ==
<references/>

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