Matemática elementar/Matrizes: mudanças entre as edições
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=== Algumas propriedades das operações anteriores === | |||
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=== Algumas propriedades do produto de matrizes === | |||
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Sejam as matrizes A, B e C. | Sejam as matrizes A, B e C. | ||
#Se os produtos A(BC) e (AB)C são possíveis de cálculo, então A(BC) = (AB)C. | |||
#Se os produtos AC e BC são possíveis, então (A+B)C = AC + BC. | |||
#Se os produtos CA e CB são possíveis, então C(A+B) = CA + CB. | |||
#Se Ip é a matriz unitária pp conforme já mencionado, então: Ip Ap,n = Ap,n e Bm,p Ip = Bm,p. | |||
=== Matriz inversa === | |||
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E a matriz inversa é a parte da direita. | E a matriz inversa é a parte da direita. | ||
== Determinantes == | |||
=== Determinantes de 2ª ordem === | |||
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=== Determinantes de ordens superiores === | |||
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=== Algumas propriedades dos determinantes === | |||
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#Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas. | |||
#Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal. | |||
#Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si, proporcionais entre si ou nulos, o determinante é nulo (k é um número qualquer). | |||
#Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência. | |||
#Um determinante não se altera se aos elementos de uma linha ou coluna são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna. | |||
=== Exemplo de aplicação de determinantes === | |||
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Edição das 00h49min de 4 de fevereiro de 2006
== Matrizes == .
Conceito
Uma matriz Am,n pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas e n colunas, conforme figura ao lado.
Assim, na matriz ao lado, de 2 linhas e 3 colunas, temos:
a11 = 4, a12 = 0, a13 = 9
a21 = 1, a22 = 7, a23 = 3
Adição e subtração
Esta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas. Sejam duas matrizes Am,n e Bm,n.
Então a matriz R = A ± B é uma matriz mn tal que cada elemento de R é dado por:
rij = aij ± bij. Ver exemplo ao lado.
Multiplicação por um escalar
Seja a matriz Am,n e c um escalar. A matriz
P = c A é uma matriz mn tal que cada elemento de P é dado por:
pij = c aij.
Algumas propriedades das operações anteriores
Sejam A e B matrizes m,n e c e d escalares. Então:
c (A + B) = cA + cB e d (cA) = dc (A).
E, também, se cA = cB então A = B.
Matrizes nulas e unitárias
Matriz nula Om,n é aquela cujos elementos são todos nulos.
Matriz unitária In é matriz In,n na qual ij,k=1 se j=k e zero nos demais casos.
Multiplicação de matrizes
Sejam as matrizes Am,p e Bp,n (o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda).
O produto AB é dado pela matriz Cm,n cujos elementos são calculados por:
cij = Sk=1,p aik bkj.
Veja os cálculos para o exemplo da figura à direita. c11 = 4.1 + 0.2 + 5.1 = 9 c12 = 4.2 + 0.5 + 5.0 = 8 c21 = 1.1 + 1.2 + 3.1 = 6 c22 = 1.2 + 1.5 + 3.0 = 7
Ordem dos fatores
Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtos AB e BA podem ser calculados.
Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente.
Em geral AB ¹ BA.
Se AB = BA, as matrizes são ditas comutativas.
Algumas propriedades do produto de matrizes
Sejam as matrizes A, B e C.
- Se os produtos A(BC) e (AB)C são possíveis de cálculo, então A(BC) = (AB)C.
- Se os produtos AC e BC são possíveis, então (A+B)C = AC + BC.
- Se os produtos CA e CB são possíveis, então C(A+B) = CA + CB.
- Se Ip é a matriz unitária pp conforme já mencionado, então: Ip Ap,n = Ap,n e Bm,p Ip = Bm,p.
Matriz inversa
Sejam as matrizes quadradas An,n e Bn,n.
Se BA = In , onde In é a matriz unitária conforme já visto, então B é chamada de matriz inversa esquerda de A.
Para achar a matriz inversa:
Por exemplo, seja a matriz A ao lado e desejamos saber sua inversa esquerda B.
O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito de A.
Agora, o objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo (processo de Gauss-Jordan).
1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por -1.
2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por -1.
3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por -2.
3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por -3.
3ª linha = 3ª linha multiplicada por -1.
2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por -1.
E a matriz inversa é a parte da direita.
Determinantes
Determinantes de 2ª ordem
O conceito de determinante está ligado ao de matriz, embora seja completamente distinto: enquanto matriz é o conjunto de elementos conforme já mencionado, determinante é o resultado de uma operação aritmética com os elementos de uma matriz, que obedece a uma determinada regra. Só se aplica a matrizes quadradas.
Veja ao lado para uma matriz A2,2 (determinante de 2ª ordem).
O prefixo det é colocado antes da matriz para indicar determinante. Ou, de forma mais compacta, os colchetes na matriz são substituídos por barras verticais para o mesmo efeito.
Determinantes de ordens superiores
Para determinantes de 3ª ordem ou superior, o cálculo pode ser feito pela decomposição: considera-se, por exemplo, a primeira linha da matriz e somam-se as parcelas de cada elemento desta linha multiplicado pelo determinante da matriz que restar pela eliminação da linha e coluna que passam pelo elemento. Se o índice da coluna for par, o sinal da parcela será negativo e positivo do contrário.Para cada determinante restante, o processo é repetido até chegar a determinantes de 2ª ordem, que são calculados pela fórmula anterior.
Exemplo para 3ª ordem.
Algumas propriedades dos determinantes
- Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas.
- Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal.
- Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si, proporcionais entre si ou nulos, o determinante é nulo (k é um número qualquer).
- Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência.
- Um determinante não se altera se aos elementos de uma linha ou coluna são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna.
Exemplo de aplicação de determinantes
Seja o sistema de equações lineares ao lado e o determinante B calculado pelos coeficientes das variáveis. E os determinantes conforme figura a lado.
Então a solução é dada por: x = B1/B, y = B2/B e z = B3/B.