Matemática elementar/Conjuntos/Números complexos: mudanças entre as edições
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O conjunto dos números complexos <math>\mathbb{C}</math> é a extensão dos números reais. Esta extensão é toda construída a partir de um elemento novo, a unidade imaginária <math>i</math>. Tipicamente, números deste conjunto são designados por ''z'', mas é permitido utilizar qualquer signo para representá-los. | |||
== O número imaginário == | == O número imaginário == | ||
A unidade imaginária ''i'' - que define os números complexos - tem o valor de {{math|{{raiz|-1}}}}. Para esta, então, podemos considerar todas as regras de radiciação. Observe o exemplo abaixo: | |||
:<math>\sqrt {-4} = \sqrt {4} \sqrt {-1} = \pm 2i</math> | |||
Desta forma, raízes negativas podem ser facilmente reduzidas a um número complexo. Esta característica é muito utilizada para descobrir raízes de funções em que o discriminante é menor que zero. Por exemplo, as raízes de ''f(x) = x<sup>2</sup> + 9'' são dadas por | |||
:<math>f(0) = \frac {\pm \sqrt {-4 \times 1 \times 9}} 2 = \frac {\pm \sqrt {-36}} 2 = \frac {\pm \sqrt {36} \sqrt {-1}} 2 = \frac {\pm 6i} 2 = \pm 3i</math> | |||
[[Imagem:Komplexkonjugat.gif|250px|right|thumb|A oposição entre o afixo e o conjugado.]] | |||
=== Soma por um número real === | |||
z | A soma de um número imaginário por um número real origina o '''afixo''' do número complexo ''z''. Desta forma, em um número complexo ''z'' cujo afixo é dado por ''a + bi'', teremos ''a'' como a parte real, e ''b'' a parte imaginária. Desta forma, teremos: | ||
* ''b'' igual a zero para um número real qualquer; | |||
* ''a'' igual a zero para um número imaginário puro qualquer. | |||
Já para ''a - bi'', teremos o '''conjugado''' do número complexo. O conjugado de um número complexo ''z'' é dado por <span style="text-decoration:overline">z</span>. Por exemplo, o conjugado do número z = 2 - i é | |||
:<math>\overline{z} = 2 - (-i)</math> | |||
Que resulta em <span style="text-decoration:overline">z</span> = 2 + i. | |||
== Operações com os complexos == | == Operações com os complexos == | ||
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=== Divisão === | === Divisão === | ||
<math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math>, se <math>c+di \not= 0</math>. | <math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math>, se <math>c+di \not= 0</math>. | ||
== Formas de representar os complexos == | |||
As duas formas principais de representar os números complexos são: | |||
z = a+b''i'' | |||
ou | |||
z = (a,b) | |||
A parte real do número z é o número a e é denotada por Re(z). | |||
A parte imaginária do número z é o número b e é denotada por Im(z). | |||
== Veja também == | == Veja também == |
Edição das 15h55min de 17 de outubro de 2013
O conjunto dos números complexos é a extensão dos números reais. Esta extensão é toda construída a partir de um elemento novo, a unidade imaginária . Tipicamente, números deste conjunto são designados por z, mas é permitido utilizar qualquer signo para representá-los.
O número imaginário
A unidade imaginária i - que define os números complexos - tem o valor de Predefinição:Math. Para esta, então, podemos considerar todas as regras de radiciação. Observe o exemplo abaixo:
Desta forma, raízes negativas podem ser facilmente reduzidas a um número complexo. Esta característica é muito utilizada para descobrir raízes de funções em que o discriminante é menor que zero. Por exemplo, as raízes de f(x) = x2 + 9 são dadas por
Soma por um número real
A soma de um número imaginário por um número real origina o afixo do número complexo z. Desta forma, em um número complexo z cujo afixo é dado por a + bi, teremos a como a parte real, e b a parte imaginária. Desta forma, teremos:
- b igual a zero para um número real qualquer;
- a igual a zero para um número imaginário puro qualquer.
Já para a - bi, teremos o conjugado do número complexo. O conjugado de um número complexo z é dado por z. Por exemplo, o conjugado do número z = 2 - i é
Que resulta em z = 2 + i.
Operações com os complexos
Soma e subtração
Como já foi dito, um número complexo pode ser representado por (a,b). Assim, a operação soma fica definida como:
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
ou na outra notação: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
A subtração pode ser deduzida da operação soma:
(a,b) - (c,d)=(a,b) + (- (c,d))=(a,b) + (-c,-d) = (a-c,b-d)
ou na outra notação: (a + bi) - (c + di)=(a - c)+(b - d)i
Multiplicação
A própria definição do conjunto dos números complexos reside na multiplicação. Assim definimos o conjunto dos números complexos como tendo a seguinte operação de multiplicação:
(a,b) . (c,d) = (ac - bd, ad + bc) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Vamos ver quanto é
i=0 + 1i = (0,1)
Então:
= (0,1) . (0,1) = (0.0 - 1.1, 0.1 + 1.0) = (-1, 0)= -1 + 0i= -1
Divisão
, se .
Formas de representar os complexos
As duas formas principais de representar os números complexos são:
z = a+bi
ou
z = (a,b)
A parte real do número z é o número a e é denotada por Re(z). A parte imaginária do número z é o número b e é denotada por Im(z).
Veja também
Uma abordagem mais avançada dos números complexos pode ser vista no livro Análise complexa/Introdução.
de:Imaginäre und komplexe Zahlen en:Intermediate Algebra/Complex Numbers fr:Mathématiques au lycée/Nombres complexes