Matemática elementar/Conjuntos/Números complexos: mudanças entre as edições
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O conjunto dos números complexos <math>\mathbb{C}</math> é a extensão dos números reais. Esta extensão é toda construída a partir de um elemento novo, a unidade imaginária <math>i</math>. Tipicamente, números deste conjunto são designados por ''z'', mas é permitido utilizar qualquer signo para representá-los. | |||
== O número imaginário == | |||
A unidade imaginária ''i'' - que define os números complexos - tem o valor de {{math|{{raiz|-1}}}}. Para esta, então, podemos considerar todas as regras de radiciação. Observe o exemplo abaixo: | |||
:<math>\sqrt {-4} = \sqrt {4} \sqrt {-1} = \pm 2i</math> | |||
Desta forma, raízes negativas podem ser facilmente reduzidas a um número complexo. Esta característica é muito utilizada para descobrir raízes de funções em que o discriminante é menor que zero. Por exemplo, as raízes de ''f(x) = x<sup>2</sup> + 9'' são dadas por | |||
:<math>f(0) = \frac {\pm \sqrt {-4 \times 1 \times 9}} 2 = \frac {\pm \sqrt {-36}} 2 = \frac {\pm \sqrt {36} \sqrt {-1}} 2 = \frac {\pm 6i} 2 = \pm 3i</math> | |||
[[Imagem:Komplexkonjugat.gif|250px|right|thumb|A oposição entre o afixo e o conjugado.]] | |||
=== Soma por um número real === | |||
A soma de um número imaginário por um número real origina o '''afixo''' do número complexo ''z''. Desta forma, em um número complexo ''z'' cujo afixo é dado por ''a + bi'', teremos ''a'' como a parte real (denotada por ''Re''), e ''b'' a parte imaginária (denotada por ''Im''). Desta forma, teremos: | |||
* ''b'' igual a zero para um número real qualquer; | |||
* ''a'' igual a zero para um número imaginário puro qualquer. | |||
Já para ''a - bi'', teremos o '''conjugado''' do número complexo. O conjugado de um número complexo ''z'' é dado por <span style="text-decoration:overline">z</span>. Por exemplo, o conjugado do número z = 2 - i é | |||
:<math>\overline{z} = 2 - (-i)</math> | |||
Que resulta em <span style="text-decoration:overline">z</span> = 2 + i. | |||
= | |||
z = | |||
== Operações com os complexos == | == Operações com os complexos == | ||
=== Soma e subtração === | === Soma e subtração === | ||
O seguinte fragmento resume a soma e a subtração dos números complexos: | |||
{{ênfase| A parte real ''a<sub>1</sub>'' soma-se à parte real ''a<sub>2</sub>'', enquanto a parte imaginária ''b<sub>1</sub>'' soma-se à parte imaginária ''b<sub>2</sub>''.}} | |||
Por exemplo, considere os números complexos ''z<sub>1</sub>'' e ''z<sub>2</sub>'', para ''z<sub>1</sub> = -2 + 4i'' e ''z<sub>2</sub> = -3 - i'', então ''z<sub>1</sub>'' + ''z<sub>2</sub>'' = | |||
:<math> | |||
\begin{cases} | |||
\operatorname{Re} = -2 {\color{Red}+} (-3) = -5 \\ | |||
\operatorname{Im} = 4i {\color{Red}+} (-i) = 3i | |||
\end{cases} | |||
</math> | |||
Conclui-se a soma pela obtenção de -5 + 3i. | |||
A subtração pode ser deduzida a partir da adição. Veja a diferença entre ''z<sub>1</sub>'' e ''z<sub>2</sub>'': | |||
:<math> | |||
\begin{cases} | |||
\operatorname{Re} = -2 {\color{Red}-} (-3) = 1 \\ | |||
\operatorname{Im} = 4i {\color{Red}-} (-i) = 5i | |||
\end{cases} | |||
</math> | |||
Que é igual a 1 + 5i. | |||
=== Multiplicação === | === Multiplicação === | ||
A própria definição do conjunto dos números complexos reside na multiplicação. | A própria definição do conjunto dos números complexos reside na multiplicação. Assim, definimos o conjunto dos números complexos como tendo a seguinte operação de multiplicação: | ||
Assim definimos o conjunto dos números complexos como tendo a seguinte operação de multiplicação: | {{ênfase| A parte real ''a<sub>1</sub>'' é multiplicada pela parte real ''a<sub>2</sub>'' e pela parte imaginária ''b<sub>2</sub>'', somando-se, então, o produto entre a parte imaginária ''b<sub>1</sub>'' e a parte real ''a<sub>2</sub>'', bem como o produto entre ''b<sub>1</sub>'' e ''b<sub>2</sub>''.}} | ||
Na prática, isto resume-se na ''multiplicação distributiva'': | |||
:<math>z_1z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i^2</math> | |||
Exemplo: z<sub>1</sub>z<sub>2</sub>, para z<sub>1</sub> = 2 + i e z<sub>2</sub> = -1 + 2i: | |||
:<math>z_1z_2 = -2 + 4i - i + 2i^2 = -2 + 3i + 2i^2 = -2 + (3 + 2i)i</math> | |||
=== Potenciação === | |||
Você deve ter notado a presença de expoente acima da unidade imaginária no exemplo anterior. A potência pode e deve ser resolvida. Facilmente ela pode ser deduzida. Veja: | |||
:<math>i^0 = 1</math> | |||
:<math>i^1 = \sqrt {-1}</math> | |||
:<math>i^2 = (\sqrt {-1})^2 = -1</math> | |||
:<math>i^3 = i^2i^1 = -1 \sqrt {-1} = -i</math> | |||
Para expoentes maiores que três (''x''), a seguinte operação é válida: | |||
:<math>i^x = i^{x - 4k - 1} = i^y</math> | |||
Em que ''k'' é o maior inteiro possível para {y ∈ N| 0 ≤ y ≤ 3}. Por exemplo, i<sup>20</sup>: | |||
:<math>i^{20} = i^{20 - 4k -1} = i^{19 - 4k} = i^{19 - 16} = i^3 = -i</math> | |||
=== Divisão === | |||
A divisão de números complexos pode ser feita pelo método da chave. Entretanto, esta última muitas vezes pode ser demorada até que se obtenha resto igual a zero. Geralmente, o método aplicado consiste na multiplicação do denominador e numerador pelo conjugado do divisor. Exemplo: | |||
:<math>\frac {z_1} {z_2} = \frac {2 + 3i} {-1 + 2i}</math> | |||
O conjugado do divisor é igual a -1 - 2i. Portanto: | |||
:<math>\frac {z_1} {z_2} = \frac {z_1} {z_2} \times \frac {\bar{z_2}} {\bar {z_2}} = \frac {2 + 3i} {-1 + 2i} \times \frac {-1 - 2i} {-1 - 2i} = \frac {-2 -4i - 3i - 6i^2} {(-1)^2 - (2i)^2} = \frac {4 - 7i} 5</math> | |||
<math> | == Representação geométrica == | ||
- | :É denominado de norma de um complexo z, dado por <math>z=a+bi</math> , o quadrado da parte real somada ao quadrado da parte imaginária, ou seja, <math>N(z) = a^2 + b^2</math>. | ||
:E, denomina-se [[w:Valor_absoluto|módulo]] (ou valor absoluto) de z, ao seguinte real e positivo: | |||
:<math>|z|=\surd N(z) = \surd (a^2 + b^2)</math> | |||
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:Veja o módulo que trata sobre o [[Matemática elementar/Plano de Argand-Gauss|plano de Argand-Gauss]]. | |||
== Veja também == | == Veja também == | ||
Uma abordagem mais avançada dos números complexos pode ser vista no livro [[Análise complexa/Introdução]]. | Uma abordagem mais avançada dos números complexos pode ser vista no livro [[Análise complexa/Introdução]]. | ||
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Edição atual tal como às 11h49min de 24 de outubro de 2017
O conjunto dos números complexos é a extensão dos números reais. Esta extensão é toda construída a partir de um elemento novo, a unidade imaginária . Tipicamente, números deste conjunto são designados por z, mas é permitido utilizar qualquer signo para representá-los.
O número imaginário
A unidade imaginária i - que define os números complexos - tem o valor de Predefinição:Math. Para esta, então, podemos considerar todas as regras de radiciação. Observe o exemplo abaixo:
Desta forma, raízes negativas podem ser facilmente reduzidas a um número complexo. Esta característica é muito utilizada para descobrir raízes de funções em que o discriminante é menor que zero. Por exemplo, as raízes de f(x) = x2 + 9 são dadas por
Soma por um número real
A soma de um número imaginário por um número real origina o afixo do número complexo z. Desta forma, em um número complexo z cujo afixo é dado por a + bi, teremos a como a parte real (denotada por Re), e b a parte imaginária (denotada por Im). Desta forma, teremos:
- b igual a zero para um número real qualquer;
- a igual a zero para um número imaginário puro qualquer.
Já para a - bi, teremos o conjugado do número complexo. O conjugado de um número complexo z é dado por z. Por exemplo, o conjugado do número z = 2 - i é
Que resulta em z = 2 + i.
Operações com os complexos
Soma e subtração
O seguinte fragmento resume a soma e a subtração dos números complexos:
Por exemplo, considere os números complexos z1 e z2, para z1 = -2 + 4i e z2 = -3 - i, então z1 + z2 =
Conclui-se a soma pela obtenção de -5 + 3i.
A subtração pode ser deduzida a partir da adição. Veja a diferença entre z1 e z2:
Que é igual a 1 + 5i.
Multiplicação
A própria definição do conjunto dos números complexos reside na multiplicação. Assim, definimos o conjunto dos números complexos como tendo a seguinte operação de multiplicação:
Na prática, isto resume-se na multiplicação distributiva:
Exemplo: z1z2, para z1 = 2 + i e z2 = -1 + 2i:
Potenciação
Você deve ter notado a presença de expoente acima da unidade imaginária no exemplo anterior. A potência pode e deve ser resolvida. Facilmente ela pode ser deduzida. Veja:
Para expoentes maiores que três (x), a seguinte operação é válida:
Em que k é o maior inteiro possível para {y ∈ N| 0 ≤ y ≤ 3}. Por exemplo, i20:
Divisão
A divisão de números complexos pode ser feita pelo método da chave. Entretanto, esta última muitas vezes pode ser demorada até que se obtenha resto igual a zero. Geralmente, o método aplicado consiste na multiplicação do denominador e numerador pelo conjugado do divisor. Exemplo:
O conjugado do divisor é igual a -1 - 2i. Portanto:
Representação geométrica
- É denominado de norma de um complexo z, dado por , o quadrado da parte real somada ao quadrado da parte imaginária, ou seja, .
- E, denomina-se módulo (ou valor absoluto) de z, ao seguinte real e positivo:
- Veja o módulo que trata sobre o plano de Argand-Gauss.
Veja também
Uma abordagem mais avançada dos números complexos pode ser vista no livro Análise complexa/Introdução.
de:Imaginäre und komplexe Zahlen en:Intermediate Algebra/Complex Numbers fr:Mathématiques au lycée/Nombres complexes