Matemática elementar/Logaritmos: mudanças entre as edições
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== Definição de Logaritmo== | == Definição de Logaritmo== | ||
Sejam a e b dois números reais. O logaritmo de <math>a</math> na base <math>b</math> é o | Sejam ''a'' e ''b'' dois números reais. O logaritmo de <math>a</math> na base <math>b</math> é o expoente a que <math>b</math> deve ser elevado para que o resultado seja <math>a</math>. Em símbolos: | ||
<math>log_{b}a = x</math> | <math>\log_{b}a = x \iff b^x = a</math> | ||
'''b''' é a '''base''' e ''a'' é o '''logaritmando'''. | Dizemos que '''b''' é a '''base''' e ''a'' é o '''logaritmando'''. | ||
Por exemplo se <math>5^2=25</math>, podemos dizer que 2 é o logaritmo de 25 na base 5. Isto mostra a proximidade que logaritmos tem | Por exemplo, se <math>5^2=25</math>, podemos dizer que 2 é o logaritmo de 25 na base 5. Isto mostra a proximidade que logaritmos têm com potências. | ||
É importante definir algumas restrições à base e ao logaritmando: | |||
* '''A base deve ser positiva.''' Determinar, por exemplo, o logaritmo de 2 na base -10 é impossível no universo dos números reais, já que apenas as potências de expoentes inteiros estão definidas para bases negativas. | |||
* '''A base deve ser diferente de um.''' Como 1 elevado a qualquer número dá 1, o único logaritmando possível (com base 1) seria 1. | |||
* '''O logaritmando deve ser positivo.''' Nenhum número real positivo tem potências negativas. | |||
== Operações com logaritmos == | == Operações com logaritmos == | ||
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=== Soma e subtração === | === Soma e subtração === | ||
<math>log_{c}a + log_{c}b = log_{c}(a | <math>\log_{c}a + \log_{c}b = \log_{c}(a \cdot b)</math> | ||
<math>\log_{c}a - \log_{c}b = \log_{c}(a / b)</math> | |||
=== Multiplicação por constante === | |||
<math>log_{ | <math>k \cdot \log_{b}a = \log_{b}a^k</math> | ||
=== | === Mudança de base === | ||
<math> | <math>\log_{b}a = \frac{\log_{c}a}{\log_{c}b}</math>, para qualquer que seja a base <math>c</math> (obedecendo, obviamente, às restrições de domínio apresentadas acima). | ||
== Equações envolvendo logaritmos == | == Equações envolvendo logaritmos == | ||
<math>log_{b}a = x | === Logaritmos e raízes === | ||
Quando temos uma equação do tipo <math>\log_{b}a = x</math>, devemos buscar um número <math>x</math> ao qual devemos elevar <math>b</math> de modo a obter o resultado <math>a</math>. Exemplo: | |||
:<math>\log_{2}16 = x</math> | |||
Como <math>2^4 = 16</math>, da definição de logaritmo resulta que <math>x = 4</math>. | |||
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Edição das 19h16min de 30 de outubro de 2006
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Definição de Logaritmo
Sejam a e b dois números reais. O logaritmo de na base é o expoente a que deve ser elevado para que o resultado seja . Em símbolos:
Dizemos que b é a base e a é o logaritmando.
Por exemplo, se , podemos dizer que 2 é o logaritmo de 25 na base 5. Isto mostra a proximidade que logaritmos têm com potências.
É importante definir algumas restrições à base e ao logaritmando:
- A base deve ser positiva. Determinar, por exemplo, o logaritmo de 2 na base -10 é impossível no universo dos números reais, já que apenas as potências de expoentes inteiros estão definidas para bases negativas.
- A base deve ser diferente de um. Como 1 elevado a qualquer número dá 1, o único logaritmando possível (com base 1) seria 1.
- O logaritmando deve ser positivo. Nenhum número real positivo tem potências negativas.
Operações com logaritmos
Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos.
Soma e subtração
Multiplicação por constante
Mudança de base
, para qualquer que seja a base (obedecendo, obviamente, às restrições de domínio apresentadas acima).
Equações envolvendo logaritmos
Logaritmos e raízes
Quando temos uma equação do tipo , devemos buscar um número ao qual devemos elevar de modo a obter o resultado . Exemplo:
Como , da definição de logaritmo resulta que .