Álgebra linear/Produto interno: mudanças entre as edições
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Seja '''V''' um [[espaço | Seja '''V''' um [[espaço vectorial]] sobre um [[corpo_(matemática)|corpo]] '''K'''. Em '''V''', podemos definir a [[função]] binária <math>\langle \cdot,\cdot\rangle: V \times V \rightarrow K</math> (denominada '''produto interno'''), que satisfaz os seguintes axiomas: | ||
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onde ''u'', ''v'' e ''w'' são | onde ''u'', ''v'' e ''w'' são vectores de '''V''', e ''λ'' é um elemento de '''K'''. | ||
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O [[produto escalar]] sobre o espaço | O [[produto escalar]] sobre o espaço vectorial <math>\mathbb{R}^3</math> satisfaz os axiomas do produto interno e é definido por: | ||
:<math>\langle (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)\rangle = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2</math> | :<math>\langle (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)\rangle = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2</math> | ||
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Dizemos que dois | Dizemos que dois vectores <math>u, v \in V</math> são '''ortogonais''' se <math>\langle u, v\rangle = 0</math>. | ||
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Seja ''V'' um espaço | Seja ''V'' um espaço vectorial sobre o corpo ''K'', com produto interno. | ||
Definimos a '''norma''' ou '''comprimento''' de um vetor <math>v \in V</math> como sendo o número <math>\sqrt{\langle v, v \rangle}</math>, que indicamos por <math>|v|</math>. | Definimos a '''norma''' ou '''comprimento''' de um vetor <math>v \in V</math> como sendo o número <math>\sqrt{\langle v, v \rangle}</math>, que indicamos por <math>|v|</math>. | ||
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==Projecção ortogonal== | ==Projecção ortogonal== | ||
===Projecção de um | ===Projecção de um vector v na direção de um vetor u, onde u ≠ 0=== | ||
Definimos essa projecção como sendo o | Definimos essa projecção como sendo o vector | ||
<math>\mbox{proj}_uv = \frac{\langle v, u \rangle}{\langle u, u \rangle} \cdot u</math> | <math>\mbox{proj}_uv = \frac{\langle v, u \rangle}{\langle u, u \rangle} \cdot u</math> | ||
===Projecção de um | ===Projecção de um vector ''v'' sobre um subespaço vectorial ''W'' de ''V''=== | ||
Seja <math>W = [u_1, u_2]</math>, onde <math> \{ u_1, u_2 \}</math> é uma base ortogonal de ''W''. | Seja <math>W = [u_1, u_2]</math>, onde <math> \{ u_1, u_2 \}</math> é uma base ortogonal de ''W''. | ||
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A base é ortogonal se os | A base é ortogonal se os vectores são ortogonais dois a dois. | ||
Propriedade: ''n'' | Propriedade: ''n'' vectores não-nulos e ortogonais dois a dois, em um espaço de dimensão ''n'', são linearmente independentes. | ||
==Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt== | ==Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt== | ||
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<math> u_i = v_i - \sum_{k=1}^{i-1} \frac{ \langle v_i, u_k \rangle }{ \langle u_k, u_k \rangle } u_k </math> | <math> u_i = v_i - \sum_{k=1}^{i-1} \frac{ \langle v_i, u_k \rangle }{ \langle u_k, u_k \rangle } u_k </math> | ||
==Distância entre dois | ==Distância entre dois vectores== | ||
Definimos a distância entre dois | Definimos a distância entre dois vectores, ''u'' e ''v'', como sendo | ||
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Essas propriedades podem ser facilmente verificadas pela definição de norma. | Essas propriedades podem ser facilmente verificadas pela definição de norma. | ||
==Melhor aproximação de um | ==Melhor aproximação de um vector v de V por um vetor de W, subespaço vetorial de V== | ||
Se <math>d(v, u) \le d(v, u'), \forall u' \in W</math>, então u é o | Se <math>d(v, u) \le d(v, u'), \forall u' \in W</math>, então u é o vector de W que dá a melhor aproximação de v por um vetor de W. | ||
Demonstra-se que <math>u = proj_W v</math> | Demonstra-se que <math>u = proj_W v</math> |
Edição das 03h34min de 27 de abril de 2005
Em Álgebra Linear, chamamos de produto interno uma função de dois vectores que satisfaz determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, é um caso especial de produto interno.
Definição
Seja V um espaço vectorial sobre um corpo K. Em V, podemos definir a função binária (denominada produto interno), que satisfaz os seguintes axiomas:
- Se , então >
onde u, v e w são vectores de V, e λ é um elemento de K.
A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes conseqüências:
- Se , então
- Se , então
Exemplos
O produto escalar sobre o espaço vectorial satisfaz os axiomas do produto interno e é definido por:
Se f e g são duas funções, é possível definir o produto interno:
Vectores ortogonais
Dizemos que dois vectores são ortogonais se .
Conseqüências (prove!):
- Se , então
- Se , então
Complemento ortogonal
Seja
Definimos o complemento ortogonal de v, , como:
Conseqüências (prove!):
- é um subespaço vetorial de V
- Seja um subespaço vetorial de V, e uma base de .
- , W é subespaço de V.
Norma
Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K, com produto interno. Definimos a norma ou comprimento de um vetor como sendo o número , que indicamos por .
Conseqüências (prove!):
- Se , então
- Se , então (Teorema de Pitágoras)
Projecção ortogonal
Projecção de um vector v na direção de um vetor u, onde u ≠ 0
Definimos essa projecção como sendo o vector
Projecção de um vector v sobre um subespaço vectorial W de V
Seja , onde é uma base ortogonal de W.
Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Dados , então
Desigualdade triangular
Base ortogonal e ortonormal
Uma base de V é dita ortonormal se , onde
- , se i = j
- , se i ≠ j
A base é ortogonal se os vectores são ortogonais dois a dois.
Propriedade: n vectores não-nulos e ortogonais dois a dois, em um espaço de dimensão n, são linearmente independentes.
Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
Dada uma base de V, podemos encontrar, a partir desta base, uma base ortogonal de V.
Distância entre dois vectores
Definimos a distância entre dois vectores, u e v, como sendo
Uma função distância tem as seguintes propriedades:
Essas propriedades podem ser facilmente verificadas pela definição de norma.
Melhor aproximação de um vector v de V por um vetor de W, subespaço vetorial de V
Se , então u é o vector de W que dá a melhor aproximação de v por um vetor de W.
Demonstra-se que
en:Inner product space de:Innenproduktraum fr:Espace préhilbertien he:מרחב מכפלה פנימית nl:Inwendig product ja:計量ベクトル空間 pl:Iloczyn skalarny zh:内积空间