Álgebra linear/Produto interno: mudanças entre as edições
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Seja '''V''' um [[espaço | Seja '''V''' um [[espaço vetorial]] sobre um [[corpo_(matemática)|corpo]] '''K'''. Em '''V''', pode-se definir a [[função]] binária <math>\langle \cdot,\cdot\rangle: V \times V \rightarrow K</math> (denominada '''produto interno'''), que satisfaz os seguintes axiomas: | ||
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em que ''u'', ''v'' e ''w'' são vetores de '''V''', e ''λ'' é um elemento de '''K'''. | |||
A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes conseqüências: | A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes conseqüências: | ||
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:<math>v^\perp = \{ v \}^\perp = \{ u \in V | \langle u, v \rangle = 0 \}. </math> | :<math>v^\perp = \{ v \}^\perp = \{ u \in V | \langle u, v \rangle = 0 \}. </math> | ||
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Seja ''V'' um espaço vectorial sobre o corpo ''K'', com produto interno. | Seja ''V'' um espaço vectorial sobre o corpo ''K'', com produto interno. | ||
Define-se a '''norma''' ou '''comprimento''' de um vetor <math>v \in V</math> como sendo o número <math>\sqrt{\langle v, v \rangle}</math>, que indicamos por <math>|v|</math>. | |||
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:Se <math>\langle u, v \rangle = 0</math>, então <math>|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2</math> (Teorema de Pitágoras) | :Se <math>\langle u, v \rangle = 0</math>, então <math>|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2</math> (Teorema de Pitágoras) | ||
== | ==Projeção ortogonal== | ||
=== | ===Projeção de um vetor v na direção de um vetor u, onde u ≠ 0=== | ||
Define-se essa projeção como sendo o vetor | |||
<math>\mbox{proj}_uv = \frac{\langle v, u \rangle}{\langle u, u \rangle} \cdot u</math> | <math>\mbox{proj}_uv = \frac{\langle v, u \rangle}{\langle u, u \rangle} \cdot u</math> | ||
=== | ===Projeção de um vetor ''v'' sobre um subespaço vetorial ''W'' de ''V''=== | ||
Seja <math>W = [u_1, u_2]</math>, | Seja <math>W = [u_1, u_2]</math>, em que <math> \{ u_1, u_2 \}</math> é uma base ortogonal de ''W''. | ||
<math>\mbox{proj}_Wv = \mbox{proj}_{u_1}v + \mbox{proj}_{u_2}v</math> | <math>\mbox{proj}_Wv = \mbox{proj}_{u_1}v + \mbox{proj}_{u_2}v</math> | ||
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A base é ortogonal se os | A base é ortogonal se os vetores são ortogonais dois a dois. | ||
Propriedade: ''n'' vectores não-nulos e ortogonais dois a dois, em um espaço de dimensão ''n'', são linearmente independentes. | Propriedade: ''n'' vectores não-nulos e ortogonais dois a dois, em um espaço de dimensão ''n'', são linearmente independentes. | ||
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==Distância entre dois vectores== | ==Distância entre dois vectores== | ||
Define-se a distância entre dois vetores quaisquer, ''u'' e ''v'', como sendo | |||
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Tais propriedades podem ser facilmente verificadas pela definição de norma. | |||
==Melhor aproximação de um | ==Melhor aproximação de um vetor v de V por um vetor de W, subespaço vetorial de V== | ||
Se <math>d(v, u) \le d(v, u'), \forall u' \in W</math>, então u é o | Se <math>d(v, u) \le d(v, u'), \forall u' \in W</math>, então u é o vetor de W que dá a aproximação mais adequada de v por um vetor de W. | ||
Demonstra-se que <math>u = proj_W v</math> | Demonstra-se que <math>u = proj_W v</math> |
Edição das 15h08min de 9 de outubro de 2005
Em Álgebra Linear, chamamos de produto interno uma função de dois vectores que satisfaz determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, é um caso especial de produto interno.
Definição
Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Em V, pode-se definir a função binária (denominada produto interno), que satisfaz os seguintes axiomas:
- Se , então >
em que u, v e w são vetores de V, e λ é um elemento de K.
A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes conseqüências:
- Se , então
- Se , então
Exemplos
O produto escalar sobre o espaço vetorial satisfaz os axiomas do produto interno e é definido por:
Se f e g são duas funções, é possível definir o produto interno:
Vectores ortogonais
Diz-se que dois vetores são ortogonais se .
Conseqüências (prove!):
- Se , então
- Se , então
Complemento ortogonal
Seja
Define-se o complemento ortogonal de v, , como:
Conseqüências (prove!):
- é um subespaço vetorial de V
- Seja um subespaço vetorial de V, e uma base de .
- , W é subespaço de V.
Norma
Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K, com produto interno. Define-se a norma ou comprimento de um vetor como sendo o número , que indicamos por .
Conseqüências (prove!):
- Se , então
- Se , então (Teorema de Pitágoras)
Projeção ortogonal
Projeção de um vetor v na direção de um vetor u, onde u ≠ 0
Define-se essa projeção como sendo o vetor
Projeção de um vetor v sobre um subespaço vetorial W de V
Seja , em que é uma base ortogonal de W.
Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Dados , então
Desigualdade triangular
Base ortogonal e ortonormal
Uma base de V é dita ortonormal se , onde
- , se i = j
- , se i ≠ j
A base é ortogonal se os vetores são ortogonais dois a dois.
Propriedade: n vectores não-nulos e ortogonais dois a dois, em um espaço de dimensão n, são linearmente independentes.
Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
Dada uma base de V, podemos encontrar, a partir desta base, uma base ortogonal de V.
Distância entre dois vectores
Define-se a distância entre dois vetores quaisquer, u e v, como sendo
Uma função distância tem as seguintes propriedades:
Tais propriedades podem ser facilmente verificadas pela definição de norma.
Melhor aproximação de um vetor v de V por um vetor de W, subespaço vetorial de V
Se , então u é o vetor de W que dá a aproximação mais adequada de v por um vetor de W.
Demonstra-se que
en:Inner product space de:Innenproduktraum fr:Espace préhilbertien he:מרחב מכפלה פנימית nl:Inwendig product ja:計量ベクトル空間 pl:Iloczyn skalarny zh:内积空间