Álgebra linear/Produto interno: mudanças entre as edições
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Em [[Álgebra linear]], chamamos de '''produto interno''' uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas. O {{busca|produto escalar}}, comumente usado na {{busca|geometria euclidiana}}, é um caso especial de produto interno. | |||
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==Definição== | ==Definição== | ||
Seja '''V''' um | Seja '''V''' um {{busca|espaço vetorial}} sobre um {{w|Corpo (matemática)|corpo}} '''K'''. Em '''V''', pode-se definir a {{busca|função}} binária <math>\langle \cdot,\cdot\rangle: V \times V \rightarrow K</math> (denominada '''produto interno'''), que satisfaz os seguintes axiomas: | ||
: <math>\langle u,v\rangle = \overline{\langle v,u\rangle }</math> | : <math>\langle u,v\rangle = \overline{\langle v,u\rangle }</math> | ||
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: Se <math>v \ne 0</math>, então <math>\langle v, v\rangle </math>> <math>0</math> | : Se <math>v \ne 0</math>, então <math>\langle v, v\rangle </math>> <math>0</math> | ||
em que ''u'', ''v'' e ''w'' são vetores de '''V''', e ''λ'' é um elemento de '''K'''. | |||
A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes | A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes consequências: | ||
: <math>\langle u, v+w\rangle = \langle u, v\rangle + \langle u, w\rangle</math> | : <math>\langle u, v+w\rangle = \langle u, v\rangle + \langle u, w\rangle</math> | ||
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===Exemplos=== | ===Exemplos=== | ||
O | O {{busca|produto escalar}} sobre o espaço vetorial <math>\mathbb{R}^3</math> satisfaz os axiomas do produto interno e é definido por: | ||
:<math>\langle (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)\rangle = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2</math> | :<math>\langle (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)\rangle = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2</math> | ||
Se ''f'' e ''g'' são duas funções, é possível definir o produto interno: | Se ''f'' e ''g'' são duas funções contínuas em um intervalo fechado, é possível definir o produto interno: | ||
:<math> \langle f, g \rangle = \int f(x)\overline{g(x)}\,dx</math> | :<math> \langle f, g \rangle = \int f(x)\overline{g(x)}\,dx</math> | ||
== | ==Vetores ortogonais== | ||
Diz-se que dois vetores <math>u, v \in V</math> são '''ortogonais''' se <math>\langle u, v\rangle = 0</math>. | |||
Consequências (prove!): | |||
:Se <math>\langle u, v\rangle = 0, \forall v \in V</math>, então <math>u = 0</math> | :Se <math>\langle u, v\rangle = 0, \forall v \in V</math>, então <math>u = 0</math> | ||
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Seja <math>v \in V, v \ne 0</math> | Seja <math>v \in V, v \ne 0</math> | ||
Define-se o complemento ortogonal de ''v'', <math>v^\perp</math>, como: | |||
:<math>v^\perp = \{ v \}^\perp = \{ u \in V | \langle u, v \rangle = 0 \}. </math> | :<math>v^\perp = \{ v \}^\perp = \{ u \in V | \langle u, v \rangle = 0 \}. </math> | ||
Consequências (prove!): | |||
:<math>v^\perp</math> é um subespaço vetorial de V | :<math>v^\perp</math> é um subespaço vetorial de V | ||
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==Norma== | ==Norma== | ||
Seja ''V'' um espaço | Seja ''V'' um espaço vetorial sobre o corpo ''K'', com produto interno. | ||
Define-se a '''norma''' ou '''comprimento''' de um vetor <math>v \in V</math> como sendo o número <math>\sqrt{\langle v, v \rangle}</math>, que indicamos por <math>|v|</math>. | |||
Consequências (prove!): | |||
:<math>|v| = 0 \Longleftrightarrow v = 0</math> | :<math>|v| = 0 \Longleftrightarrow v = 0</math> | ||
Linha 67: | Linha 64: | ||
:Se <math>\langle u, v \rangle = 0</math>, então <math>|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2</math> (Teorema de Pitágoras) | :Se <math>\langle u, v \rangle = 0</math>, então <math>|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2</math> (Teorema de Pitágoras) | ||
== | ==Projeção ortogonal== | ||
=== | ===Projeção de um vetor v na direção de um vetor u, em que u ≠ 0=== | ||
Define-se '''essa''' projeção como sendo o vetor | |||
<math>\mbox{proj}_uv = \frac{\langle v, u \rangle}{\langle u, u \rangle} \cdot u</math> | <math>\mbox{proj}_uv = \frac{\langle v, u \rangle}{\langle u, u \rangle} \cdot u</math> | ||
=== | ===Projeção de um vetor ''v'' sobre um subespaço vetorial ''W'' de ''V''=== | ||
Seja <math>W = [u_1, u_2]</math>, | Seja <math>W = [u_1, u_2]</math>, em que <math> \{ u_1, u_2 \}</math> é uma base ortogonal de ''W''. | ||
<math>\mbox{proj}_Wv = \mbox{proj}_{u_1}v + \mbox{proj}_{u_2}v</math> | <math>\mbox{proj}_Wv = \mbox{proj}_{u_1}v + \mbox{proj}_{u_2}v</math> | ||
Linha 91: | Linha 88: | ||
==Base ortogonal e ortonormal== | ==Base ortogonal e ortonormal== | ||
Uma base <math> \{ v_1, v_2, \ldots, v_n \} </math> de V é dita ortonormal se <math> \langle v_i, v_j \rangle = \delta ij</math>, | Uma base <math> \{ v_1, v_2, \ldots, v_n \} </math> de V é dita ortonormal se <math> \langle v_i, v_j \rangle = \delta ij</math>, em que | ||
:<math>\delta ij = 1</math>, se i = j | :<math>\delta ij = 1</math>, se i = j | ||
Linha 99: | Linha 96: | ||
--> | --> | ||
A base é ortogonal se os | A base é ortogonal se os vetores são ortogonais dois a dois. | ||
v1.v2=0 | |||
Propriedade: ''n'' | Propriedade: ''n'' vetores não-nulos e ortogonais dois a dois, em um espaço de dimensão ''n'', são linearmente independentes. | ||
==Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt== | ==Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt== | ||
Linha 110: | Linha 109: | ||
<math> u_i = v_i - \sum_{k=1}^{i-1} \frac{ \langle v_i, u_k \rangle }{ \langle u_k, u_k \rangle } u_k </math> | <math> u_i = v_i - \sum_{k=1}^{i-1} \frac{ \langle v_i, u_k \rangle }{ \langle u_k, u_k \rangle } u_k </math> | ||
==Distância entre dois | ==Distância entre dois vetores== | ||
Define-se a distância entre dois vetores quaisquer, ''u'' e ''v'', como sendo | |||
<math>d(u,v) = |u - v| </math> | <math>d(u,v) = |u - v| </math> | ||
Linha 122: | Linha 121: | ||
:<math>d(u,v) \le d(u, w) + d(w, v)</math> | :<math>d(u,v) \le d(u, w) + d(w, v)</math> | ||
Tais propriedades podem ser facilmente verificadas pela definição de norma. | |||
==Melhor aproximação de um | ==Melhor aproximação de um vetor v de V por um vetor de W, subespaço vetorial de V== | ||
Se <math>d(v, u) \le d(v, u'), \forall u' \in W</math>, então u é o | Se <math>d(v, u) \le d(v, u'), \forall u' \in W</math>, então u é o vetor de W que dá a aproximação mais adequada de v por um vetor de W. | ||
Demonstra-se que <math>u = proj_W v</math> | Demonstra-se que <math>u = proj_W v</math> | ||
{{ | == Ver também == | ||
{{wikipedia|Produto interno}} | |||
{{AutoCat}} | |||
[[en:Inner product space]] | [[en:Inner product space]] |
Edição atual tal como às 20h57min de 18 de setembro de 2014
Em Álgebra linear, chamamos de produto interno uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas. O Predefinição:Busca, comumente usado na Predefinição:Busca, é um caso especial de produto interno.
Definição
Seja V um Predefinição:Busca sobre um Predefinição:W K. Em V, pode-se definir a Predefinição:Busca binária (denominada produto interno), que satisfaz os seguintes axiomas:
- Se , então >
em que u, v e w são vetores de V, e λ é um elemento de K.
A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes consequências:
- Se , então
- Se , então
Exemplos
O Predefinição:Busca sobre o espaço vetorial satisfaz os axiomas do produto interno e é definido por:
Se f e g são duas funções contínuas em um intervalo fechado, é possível definir o produto interno:
Vetores ortogonais
Diz-se que dois vetores são ortogonais se .
Consequências (prove!):
- Se , então
- Se , então
Complemento ortogonal
Seja
Define-se o complemento ortogonal de v, , como:
Consequências (prove!):
- é um subespaço vetorial de V
- Seja um subespaço vetorial de V, e uma base de .
- , W é subespaço de V.
Norma
Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K, com produto interno. Define-se a norma ou comprimento de um vetor como sendo o número , que indicamos por .
Consequências (prove!):
- Se , então
- Se , então (Teorema de Pitágoras)
Projeção ortogonal
Projeção de um vetor v na direção de um vetor u, em que u ≠ 0
Define-se essa projeção como sendo o vetor
Projeção de um vetor v sobre um subespaço vetorial W de V
Seja , em que é uma base ortogonal de W.
Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Dados , então
Desigualdade triangular
Base ortogonal e ortonormal
Uma base de V é dita ortonormal se , em que
- , se i = j
- , se i ≠ j
A base é ortogonal se os vetores são ortogonais dois a dois.
v1.v2=0
Propriedade: n vetores não-nulos e ortogonais dois a dois, em um espaço de dimensão n, são linearmente independentes.
Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
Dada uma base de V, podemos encontrar, a partir desta base, uma base ortogonal de V.
Distância entre dois vetores
Define-se a distância entre dois vetores quaisquer, u e v, como sendo
Uma função distância tem as seguintes propriedades:
Tais propriedades podem ser facilmente verificadas pela definição de norma.
Melhor aproximação de um vetor v de V por um vetor de W, subespaço vetorial de V
Se , então u é o vetor de W que dá a aproximação mais adequada de v por um vetor de W.
Demonstra-se que
Ver também
en:Inner product space de:Innenproduktraum fr:Espace préhilbertien he:מרחב מכפלה פנימית nl:Inwendig product ja:計量ベクトル空間 pl:Iloczyn skalarny zh:内积空间