Álgebra linear/Transformações lineares: mudanças entre as edições
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== | ===Funcionais Lineares=== | ||
'''Definição''': Uma função <math>f: V \rightarrow K </math>, onde V é um espaço vetorial sobre '''K''', é chamada de funcional linear se, <math>\forall u, v \in V</math> e <math> \forall \lambda \in K</math>: | |||
== | :<math>f(u + v) = f(u) + f(v)</math> | ||
:<math>f( \lambda v) = \lambda f(v)</math> | |||
''' | '''Teorema da existência e unicidade''': Se '''V''' é um espaço vetorial de dimensão ''n'' e <math>\alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n \}</math> é | ||
uma base de '''V''', então existe um único funcional ''f'', tal que <math>f(v_i) = \lambda_i, i = 1, 2, \ldots, n, \lambda_i \in K</math> | |||
'''Teorema da base dual''': Se '''V''' é um espaço vetorial, <math>\mathrm{dim} V = n</math> e <math>\beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} </math> | |||
é uma base de V, então existe uma única base <math>\beta^* = \{f_1, f_2, \ldots, f_n\}</math> de <math>V^*</math> | |||
tal que <math>f_i(v_j) = \delta_{ij}</math> | |||
'''Definições''': | |||
:<math>\beta^{*}</math> é chamada de base dual de <math>\beta</math> | |||
:<math>V^*</math> é chamado de espaço dual de V | |||
'''Corolários''': | |||
:<math>f = \sum f(v_i)f_i</math> | |||
:<math>v = \sum f_i(v)v_i</math> | |||
==Teorema de representação dos funcionais lineares== | |||
== | Sejam '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, com produto interno, e | ||
<math>f: V \rightarrow K</math> um funcional linear. Então existe um único vetor <math>v_o \in V</math>, tal | |||
que <math>f(v) = \langle v, v_o \rangle</math>, <math>\forall v \in V</math>. | |||
Demonstra-se ainda que <math>v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i</math> | |||
---++ Adjunta de um operador linear | |||
Seja '''V''' um espaço vetorial. | |||
O operador adjunto, <math>T^* : V \rightarrow V </math>, de um determinado operador linear <math>T : V \rightarrow V</math> é definido pela igualdade: | |||
:<math> \langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V</math> | |||
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente. | |||
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!): | |||
:<math>(S + T)^* = S^* + T^*</math> | |||
:<math>(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*</math> | |||
:<math>(S \circ T)^* = T^* \circ S^*</math> | |||
''' | '''Proposição''': Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, com produto interno. | ||
Seja <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> uma base ortonormal de '''V'''. Então | |||
<math>[T]_\alpha = (a_{ij})</math>, onde <math>a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle</math> | |||
'''Corolário''': Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, com produto interno. | |||
Então, para qualquer base <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> ortonormal de '''V''', temos que | |||
a matriz <math>[T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t</math>. | |||
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Edição das 19h30min de 11 de outubro de 2007
Funcionais Lineares
Definição: Uma função , onde V é um espaço vetorial sobre K, é chamada de funcional linear se, e :
Teorema da existência e unicidade: Se V é um espaço vetorial de dimensão n e é uma base de V, então existe um único funcional f, tal que
Teorema da base dual: Se V é um espaço vetorial, e é uma base de V, então existe uma única base de tal que
Definições:
- é chamada de base dual de
- é chamado de espaço dual de V
Corolários:
Teorema de representação dos funcionais lineares
Sejam V um espaço vetorial sobre K, , com produto interno, e um funcional linear. Então existe um único vetor , tal que , .
Demonstra-se ainda que
---++ Adjunta de um operador linear
Seja V um espaço vetorial.
O operador adjunto, , de um determinado operador linear é definido pela igualdade:
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):
Proposição: Seja V um espaço vetorial sobre K, , com produto interno. Seja uma base ortonormal de V. Então , onde
Corolário: Seja V um espaço vetorial sobre K, , com produto interno. Então, para qualquer base ortonormal de V, temos que a matriz .