Álgebra linear/Transformações lineares: mudanças entre as edições
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{{Navegação/Simples| | {{Navegação/Simples|Funcionais lineares|Espaços biduais}} | ||
== | ==Operadores especiais== | ||
=== Definição === | * Auto-adjunto (<math>T^* = T</math>) | ||
* Unitário (<math>T^* = T^{-1}</math>) | |||
* Normal (<math>T^*T = TT^*</math>) | |||
==Operador auto-adjunto== | |||
'''Definição''': | |||
{{Definição|texto= | |||
<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de auto-adjunto se <math>T^* = T</math>. | |||
}} | |||
Uma matriz '''A''' é auto-adjunta se <math>\overline{A}^t = A</math>. | |||
* Se <math>K = R</math>, <math>[T]_\alpha</math> é chamada simétrica. | |||
* Se <math>K = C</math>, <math>[T]_\alpha</math> é chamada hermitiana. | |||
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto: | |||
: Se <math>\langle T(u), v \rangle = 0, \forall u, v \in V</math>, então <math>T = 0</math>. | |||
: Se '''V''' é complexo e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V</math>, então <math>T = 0</math>. | |||
'''Prove''': | |||
* Se <math>T^* = T</math> e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V</math>, então <math>T = 0</math>. | |||
* Seja <math>T: V \rightarrow V</math>, com '''V''' complexo. Então <math>T^* = T \iff \langle T(v), v \rangle \in R</math>. | |||
==Operador unitário== | |||
'''Definição''': | |||
{{Definição|texto= | |||
<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de unitário se <math>T^* = T^{-1}</math>. | |||
}} | |||
Uma matriz '''A''' é unitária se <math>{\overline{A}}^t = A^{-1}</math> | |||
'''Prove''': | |||
* '''T''' é unitário <math>\iff \langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle</math> ('''T''' preserva o produto interno) | |||
* '''T''' é unitário <math>\iff |T(u)| = |u|</math> ('''T''' preserva a norma) | |||
* '''T''' é unitário <math>\iff T^{-1}</math> é unitário | |||
==Operador normal== | |||
'''Definição''': | |||
{{Definição|texto= | |||
<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de normal se <math>TT^* = T^*T</math>. | |||
}} | |||
Uma matriz '''A''' é normal se <math>AA^* = A^*A</math> | |||
'''Prove''': | |||
* Todo operador auto-adjunto é normal | |||
* Todo operador unitário é normal | |||
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos. | |||
==Subespaço invariante== | |||
'''Definição''': | |||
{{Definição|texto= | {{Definição|texto= | ||
'''W''', subespaço vetorial de '''V''', é dito invariante sob o operador <math>T: V \rightarrow V</math>, se <math>T(W) \subset W</math>. | |||
}} | }} | ||
Dizemos também que '''W''' é '''T'''-invariante. | |||
'''Prove''': | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante, então <math>W^\perp</math> é <math>T^*</math>-invariante. | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é auto-adjunto, então '''W''' é <math>T^*</math>-invariante. | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então <math>T(W) = W</math>. | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante e <math>T^{-1}(W) = W</math>. | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante (ou <math>T^*</math>-invariante). | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então <math>W^\perp</math> é '''T'''-invariante. | |||
{{AutoCat}} | {{AutoCat}} |
Edição das 13h40min de 21 de março de 2009
Predefinição:Navegação/Simples
Operadores especiais
- Auto-adjunto ()
- Unitário ()
- Normal ()
Operador auto-adjunto
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Uma matriz A é auto-adjunta se .
- Se , é chamada simétrica.
- Se , é chamada hermitiana.
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:
- Se , então .
- Se V é complexo e , então .
Prove:
- Se e , então .
- Seja , com V complexo. Então .
Operador unitário
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Uma matriz A é unitária se
Prove:
- T é unitário (T preserva o produto interno)
- T é unitário (T preserva a norma)
- T é unitário é unitário
Operador normal
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Uma matriz A é normal se
Prove:
- Todo operador auto-adjunto é normal
- Todo operador unitário é normal
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.
Subespaço invariante
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Dizemos também que W é T-invariante.
Prove:
- Se W é T-invariante, então é -invariante.
- Se W é T-invariante e T é auto-adjunto, então W é -invariante.
- Se W é T-invariante e T é inversível, então .
- Se W é T-invariante e T é inversível, então W é -invariante e .
- Se W é T-invariante e T é unitário, então W é -invariante (ou -invariante).
- Se W é T-invariante e T é unitário, então é T-invariante.