Álgebra linear/Transformações lineares: mudanças entre as edições
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{{Navegação/Simples | {{Navegação/Simples|Espaço linha e espaço coluna|A álgebra das transformações lineares}} | ||
== Transformações Lineares == | |||
=== Definição === | |||
{{Definição | |||
|Uma função <math>T : V \to W,</math> onde <math>V</math> e <math>W</math> são espaços vetoriais sobre um corpo <math>K,</math> é dita uma ''transformação linear'' se, para todos <math>u, v \in V</math> e para todo <math>\lambda \in K,</math> tem-se | |||
: <math>T(u + v) = T(u) + T(v)</math> | |||
: <math>T(\lambda u) = \lambda \, T(u)</math> | |||
}} | |||
== Núcleo == | == Núcleo == | ||
=== Definição === | |||
{{Definição | {{Definição | ||
|Seja <math>T: V \to W\,</math> uma transformação linear entre os espaços vetoriais ''V'' e ''W''. O '''núcleo''' da transformação linear, '''Ker(T)''', é a imagem inversa do vetor nulo em W: | |Seja <math>T: V \to W\,</math> uma transformação linear entre os espaços vetoriais ''V'' e ''W''. O '''núcleo''' da transformação linear, '''Ker(T)''', é a imagem inversa do vetor nulo em W: | ||
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A demonstração é simples: | A demonstração é simples: | ||
* ''Ker(T)'' não é vazio, pois 0<sub>V</sub> é um elemento de ''Ker(T)'', já que ''T(0<sub>V</sub>) = 0<sub>W</sub>'' | * ''Ker(T)'' não é vazio, pois 0<sub>V</sub> é um elemento de ''Ker(T)'', já que ''T(0<sub>V</sub>) = 0<sub>W</sub>'' | ||
* Se <math>v, w \in Ker(T)\,</math> | * Se <math>v, w \in Ker(T)\,,</math> então ''T(v) = T(w) = 0'', logo, pela linearidade de ''T'', ''T(v + w) = 0'' e <math>v + w \in Ker(T)\,</math> | ||
* Se <math>\lambda \in K\,</math> e <math>v \in Ker(T)\,</math> | * Se <math>\lambda \in K\,</math> e <math>v \in Ker(T)\,,</math> temos <math>T(v) = 0\,</math> logo <math>T(\lambda v) = \lambda T(v) = \lambda 0 = 0\,,</math> ou seja, <math>\lambda v \in Ker(T)\,</math> | ||
{{Rdc}} | |||
== Funcionais Lineares == | |||
=== Definição === | |||
{{Definição | |||
|Uma função <math>f: V \rightarrow K ,</math> onde V é um espaço vetorial sobre '''K''', é chamada de funcional linear se, <math>\forall u, v \in V</math> e <math> \forall \lambda \in K:</math> | |||
: <math>f(u + v) = f(u) + f(v)</math> | |||
: <math>f( \lambda v) = \lambda f(v)</math> | |||
}} | |||
{{Teorema||(existência e unicidade) | |||
|Se '''V''' é um espaço vetorial de dimensão ''n'' e <math>\alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n \}</math> é | |||
uma base de '''V''', então existe um único funcional ''f'', tal que <math>f(v_i) = \lambda_i, i = 1, 2, \ldots, n, \lambda_i \in K</math> | |||
}} | |||
{{Teorema||(base dual) | |||
|Se '''V''' é um espaço vetorial, <math>\mathrm{dim} V = n</math> e <math>\beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} </math> | |||
é uma base de V, então existe uma única base <math>\beta^* = \{f_1, f_2, \ldots, f_n\}</math> de <math>V^*</math> | |||
tal que <math>f_i(v_j) = \delta_{ij}</math> | |||
}} | |||
{{Definição | |||
|:<math>\beta^{*}</math> é chamada de base dual de <math>\beta</math> | |||
: <math>V^*</math> é chamado de espaço dual de V | |||
}} | |||
'''Corolários''': | |||
: <math>f = \sum f(v_i)f_i</math> | |||
: <math>v = \sum f_i(v)v_i</math> | |||
=== Teoremas === | |||
{{Teorema||(representação dos funcionais lineares) | |||
|Sejam '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n,</math> com produto interno, e | |||
<math>f: V \rightarrow K</math> um funcional linear. Então existe um único vetor <math>v_o \in V,</math> tal | |||
que <math>f(v) = \langle v, v_o \rangle,</math> <math>\forall v \in V.</math> | |||
}} | |||
Demonstra-se ainda que <math>v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i</math> | |||
== Adjunto de um operador linear == | |||
=== Definição === | |||
{{Definição | |||
|Seja '''V''' um espaço vetorial. | |||
O operador adjunto, <math>T^* : V \rightarrow V ,</math> de um determinado operador linear <math>T : V \rightarrow V</math> é definido pela igualdade: | |||
: <math> \langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V</math> | |||
}} | |||
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente. | |||
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!): | |||
: <math>(S + T)^* = S^* + T^*</math> | |||
: <math>(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*</math> | |||
: <math>(S \circ T)^* = T^* \circ S^*</math> | |||
{{Proposição | |||
|Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n,</math> com produto interno. | |||
Seja <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> uma base ortonormal de '''V'''. Então | |||
<math>[T]_\alpha = (a_{ij}),</math> onde <math>a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle</math> | |||
}} | |||
{{Corolário | |||
|Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n,</math> com produto interno. | |||
Então, para qualquer base <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> ortonormal de '''V''', temos que | |||
a matriz <math>[T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t.</math> | |||
}} | |||
== Operadores especiais == | |||
* Auto-adjunto (<math>T^* = T</math>) | |||
* Unitário (<math>T^* = T^{-1}</math>) | |||
* Normal (<math>T^*T = TT^*</math>) | |||
=== Operador auto-adjunto === | |||
{{Definição | |||
|<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de auto-adjunto se <math>T^* = T.</math> | |||
}} | |||
Uma matriz '''A''' é auto-adjunta se <math>\overline{A}^t = A.</math> | |||
* Se <math>K = R,</math> <math>[T]_\alpha</math> é chamada simétrica. | |||
* Se <math>K = C,</math> <math>[T]_\alpha</math> é chamada hermitiana. | |||
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto: | |||
: Se <math>\langle T(u), v \rangle = 0, \forall u, v \in V,</math> então <math>T = 0.</math> | |||
: Se '''V''' é complexo e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V,</math> então <math>T = 0.</math> | |||
'''Prove''': | |||
* Se <math>T^* = T</math> e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V,</math> então <math>T = 0.</math> | |||
* Seja <math>T: V \rightarrow V,</math> com '''V''' complexo. Então <math>T^* = T \iff \langle T(v), v \rangle \in R.</math> | |||
=== Operador unitário === | |||
{{Definição | |||
|<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de unitário se <math>T^* = T^{-1}.</math> | |||
}} | |||
Uma matriz '''A''' é unitária se <math>{\overline{A}}^t = A^{-1}</math> | |||
'''Prove''': | |||
* '''T''' é unitário <math>\iff \langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle</math> ('''T''' preserva o produto interno) | |||
* '''T''' é unitário <math>\iff |T(u)| = |u|</math> ('''T''' preserva a norma) | |||
* '''T''' é unitário <math>\iff T^{-1}</math> é unitário | |||
=== Operador normal === | |||
{{Definição | |||
|<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de normal se <math>TT^* = T^*T.</math> | |||
}} | |||
Uma matriz '''A''' é normal se <math>AA^* = A^*A</math> | |||
'''Prove''': | |||
* Todo operador auto-adjunto é normal | |||
* Todo operador unitário é normal | |||
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos. | |||
== Subespaço invariante == | |||
=== Definição === | |||
{{Definição | |||
|'''W''', subespaço vetorial de '''V''', é dito invariante sob o operador <math>T: V \rightarrow V,</math> se <math>T(W) \subset W.</math> | |||
}} | |||
Dizemos também que '''W''' é '''T'''-invariante. | |||
=== Exercícios === | |||
'''Prove''': | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante, então <math>W^\perp</math> é <math>T^*</math>-invariante. | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é auto-adjunto, então '''W''' é <math>T^*</math>-invariante. | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então <math>T(W) = W.</math> | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante e <math>T^{-1}(W) = W.</math> | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante (ou <math>T^*</math>-invariante). | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então <math>W^\perp</math> é '''T'''-invariante. | |||
== Ver também == | == Ver também == | ||
=== Wikipédia === | === Wikipédia === | ||
* [ | * [[w:Transformação linear#Núcleo|Núcleo da transformação linear]] | ||
* [[w:Transformação linear|Transformação linear]] | |||
{{Esboço|Matemática}} | {{Esboço|Matemática}} | ||
{{AutoCat}} | |||
[[en:Linear Algebra/Definition of Homomorphism]] |
Edição das 17h18min de 10 de novembro de 2009
Predefinição:Navegação/Simples
Transformações Lineares
Definição
- Definição
Uma função onde e são espaços vetoriais sobre um corpo é dita uma transformação linear se, para todos e para todo tem-se
Núcleo
Definição
- Definição
Seja uma transformação linear entre os espaços vetoriais V e W. O núcleo da transformação linear, Ker(T), é a imagem inversa do vetor nulo em W:
Teorema O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio
A demonstração é simples:
- Ker(T) não é vazio, pois 0V é um elemento de Ker(T), já que T(0V) = 0W
- Se então T(v) = T(w) = 0, logo, pela linearidade de T, T(v + w) = 0 e
- Se e temos logo ou seja,
Funcionais Lineares
Definição
- Definição
Uma função onde V é um espaço vetorial sobre K, é chamada de funcional linear se, e
- Teorema (existência e unicidade)
Se V é um espaço vetorial de dimensão n e é uma base de V, então existe um único funcional f, tal que
- Teorema (base dual)
Se V é um espaço vetorial, e é uma base de V, então existe uma única base de tal que
- Definição
- é chamada de base dual de
- é chamado de espaço dual de V
Corolários:
Teoremas
- Teorema (representação dos funcionais lineares)
Sejam V um espaço vetorial sobre K, com produto interno, e um funcional linear. Então existe um único vetor tal que
Demonstra-se ainda que
Adjunto de um operador linear
Definição
- Definição
Seja V um espaço vetorial. O operador adjunto, de um determinado operador linear é definido pela igualdade:
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):
Operadores especiais
- Auto-adjunto ()
- Unitário ()
- Normal ()
Operador auto-adjunto
- Definição
é chamado de auto-adjunto se
Uma matriz A é auto-adjunta se
- Se é chamada simétrica.
- Se é chamada hermitiana.
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:
- Se então
- Se V é complexo e então
Prove:
- Se e então
- Seja com V complexo. Então
Operador unitário
- Definição
é chamado de unitário se
Uma matriz A é unitária se
Prove:
- T é unitário (T preserva o produto interno)
- T é unitário (T preserva a norma)
- T é unitário é unitário
Operador normal
- Definição
é chamado de normal se
Uma matriz A é normal se
Prove:
- Todo operador auto-adjunto é normal
- Todo operador unitário é normal
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.
Subespaço invariante
Definição
- Definição
W, subespaço vetorial de V, é dito invariante sob o operador se
Dizemos também que W é T-invariante.
Exercícios
Prove:
- Se W é T-invariante, então é -invariante.
- Se W é T-invariante e T é auto-adjunto, então W é -invariante.
- Se W é T-invariante e T é inversível, então
- Se W é T-invariante e T é inversível, então W é -invariante e
- Se W é T-invariante e T é unitário, então W é -invariante (ou -invariante).
- Se W é T-invariante e T é unitário, então é T-invariante.
Ver também
Wikipédia
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