Álgebra linear/Transformações lineares: mudanças entre as edições
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=== Existência de uma transformação === | === Existência de uma transformação === | ||
Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a <math> dim \; V < \infty </math>. Seja <math> \{v_1, v_2,...,v_n \} \; </math> uma base de V e <math> w_1, w_2,...,w_n \;</math> vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear <math>T:V \mapsto W , Tv_i=w_i, i=1,...,n</math> | Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a <math> dim \; V < \infty </math>. Seja <math> \{v_1, v_2,...,v_n \} \; </math> uma base de V e <math> w_1, w_2,...,w_n \;</math> vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear <math>T:V \mapsto W , Tv_i=w_i, i=1,...,n</math>. | ||
{{Prova| | |||
*T | *T existe e está bem definida | ||
Dado <math> v \in V, \exists x=(x_1,...,x_n), x_i \in K, i=1,...,n</math> tal que <math> v=\sum_{i=1}^n x_iv_i</math>. Podemos definir T em v como <math> Tv=\sum_{i=1}^n x_iw_i</math>. | *:Dado <math> v \in V, \exists x=(x_1,...,x_n), x_i \in K, i=1,...,n</math> tal que <math> v=\sum_{i=1}^n x_iv_i</math>. Podemos definir T em v como <math> Tv=\sum_{i=1}^n x_iw_i</math>. Sendo <math> \{v_1, v_2,...,v_n \} \; </math> uma base, tem-se a unicidade de <math>(x_1,...,x_n)</math> e, consequentemente, T está bem definida por meio da regra que associa o vetor <math>v \in V</math> ao vetor <math>Tv \in W</math>. Vemos através da definição que <math> Tv=\sum_{i=1}^n x_iTv_i=\sum_{i=1}^n x_iw_i \Rightarrow Tv_i=w_i, i=1,...,n</math>. | ||
*T é linear | *T é linear | ||
Tome <math>w \in V, w = \sum_{i=1}^n y_iv_i, c \in K</math>. Assim <math> cv+w = c\sum_{i=1}^n x_iv_i + \sum_{i=1}^n y_iv_i = \sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)v_i </math>. Pela definição <math>T(cv+w)=\sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)w_i</math>. De outro modo | *:Tome <math>w \in V, w = \sum_{i=1}^n y_iv_i, c \in K</math>. Assim <math> cv+w = c\sum_{i=1}^n x_iv_i + \sum_{i=1}^n y_iv_i = \sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)v_i </math>. Pela definição <math>T(cv+w)=\sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)w_i</math>. De outro modo <math>cTv+ Tw=c\sum_{i=1}^n x_iw_i+ \sum_{i=1}^ny_iw_i = \sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)w_i</math>. Portanto <math>T(cv+w)=cTv+ Tw \;</math>. | ||
<math>cTv+ Tw=c\sum_{i=1}^n x_iw_i+ \sum_{i=1}^ny_iw_i = \sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)w_i</math>. Portanto <math>T(cv+w)=cTv+ Tw \;</math> | |||
*T é única | *T é única | ||
Suponha que exista <math> U:V \mapsto W, Uv_i=w_i, i=1,...,n \; </math>, então se <math>v=\sum_{i=1}^n x_iv_i </math>, então <math>Uv=\sum_{i=1}^n x_iUv_i=\sum_{i=1}^n x_iw_i = Tv, \forall v \in V</math> | *:Suponha que exista <math> U:V \mapsto W, Uv_i=w_i, i=1,...,n \; </math>, então se <math>v=\sum_{i=1}^n x_iv_i </math>, então <math>Uv=\sum_{i=1}^n x_iUv_i=\sum_{i=1}^n x_iw_i = Tv, \forall v \in V</math>. | ||
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== Núcleo == | == Núcleo == |
Edição das 12h27min de 17 de setembro de 2011
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Transformações Lineares
Definição
- Definição
Uma função onde e são espaços vetoriais sobre um corpo é dita uma transformação linear se, para todos e para todo tem-se
Existência de uma transformação
Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a . Seja uma base de V e vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear .
Núcleo
Definição
- Definição
Seja uma transformação linear entre os espaços vetoriais V e W. O núcleo da transformação linear, Ker(T), é a imagem inversa do vetor nulo em W:
Teorema O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio
A demonstração é simples:
- Ker(T) não é vazio, pois 0V é um elemento de Ker(T), já que T(0V) = 0W
- Se então T(v) = T(w) = 0, logo, pela linearidade de T, T(v + w) = 0 e
- Se e temos logo ou seja,
- Definição
Se :
- O
Teorema do posto e da nulidade Predefinição:Rdc
Funcionais Lineares
Definição
- Definição
Uma função onde V é um espaço vetorial sobre K, é chamada de funcional linear se, e
- Teorema (existência e unicidade)
Se V é um espaço vetorial de dimensão n e é uma base de V, então existe um único funcional f, tal que e
- Teorema (base dual)
Se V é um espaço vetorial, e é uma base de V, então existe uma única base de tal que
- Definição
- é chamada de base dual de
- é chamado de espaço dual de V
Corolários:
Teoremas
- Teorema (representação dos funcionais lineares)
Sejam V um espaço vetorial sobre K, com produto interno, e um funcional linear. Então existe um único vetor tal que
Demonstra-se ainda que
Adjunto de um operador linear
Definição
- Definição
Seja V um espaço vetorial. O operador adjunto, de um determinado operador linear é definido pela igualdade:
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):
Operadores especiais
- Auto-adjunto ()
- Unitário ()
- Normal ()
Operador auto-adjunto
- Definição
é chamado de auto-adjunto se
Uma matriz A é auto-adjunta se
- Se é chamada simétrica.
- Se é chamada hermitiana.
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:
- Se então
- Se V é complexo e então
Prove:
- Se e então
- Seja com V complexo. Então
Operador unitário
- Definição
é chamado de unitário se
Uma matriz A é unitária se
Prove:
- T é unitário (T preserva o produto interno)
- T é unitário (T preserva a norma)
- T é unitário é unitário
Operador normal
- Definição
é chamado de normal se
Uma matriz A é normal se
Prove:
- Todo operador auto-adjunto é normal
- Todo operador unitário é normal
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.
Subespaço invariante
Definição
- Definição
W, subespaço vetorial de V, é dito invariante sob o operador se
Dizemos também que W é T-invariante.
Exercícios
Prove:
- Se W é T-invariante, então é -invariante.
- Se W é T-invariante e T é auto-adjunto, então W é -invariante.
- Se W é T-invariante e T é inversível, então
- Se W é T-invariante e T é inversível, então W é -invariante e
- Se W é T-invariante e T é unitário, então W é -invariante (ou -invariante).
- Se W é T-invariante e T é unitário, então é T-invariante.