Álgebra linear/Transformações lineares: mudanças entre as edições
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|Seja <math>T: V \to W\,</math> uma transformação linear entre os espaços vetoriais ''V'' e ''W''. O '''núcleo''' da transformação linear, '''Ker(T)''', é a imagem inversa do vetor nulo em W: | |Seja <math>T: V \to W\,</math> uma transformação linear entre os espaços vetoriais ''V'' e ''W''. O '''núcleo''' da transformação linear, '''Ker(T)''', é a imagem inversa do vetor nulo em W: | ||
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===Teorema=== | |||
O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio | O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio | ||
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* Se <math>\lambda \in K\,</math> e <math>v \in Ker(T)\,,</math> temos <math>T(v) = 0\,</math> logo <math>T(\lambda v) = \lambda T(v) = \lambda 0 = 0\,,</math> ou seja, <math>\lambda v \in Ker(T)\,</math> | * Se <math>\lambda \in K\,</math> e <math>v \in Ker(T)\,,</math> temos <math>T(v) = 0\,</math> logo <math>T(\lambda v) = \lambda T(v) = \lambda 0 = 0\,,</math> ou seja, <math>\lambda v \in Ker(T)\,</math> | ||
== Posto e Nulidade == | |||
Se <math> dim V< \infty </math>, o posto(T) = dim Im(T) e a Nulidade(T) = dim Ker(T) | |||
==== Teorema do posto e da nulidade ==== | |||
Sejam V e W espaço vetoriais sobre o corpo K e <math>T:V \mapsto W</math>. Se <math> dim V < \infty </math>, então posto(T) + Nulidade(T) = dim V | |||
''' | ''' Prova ''' | ||
{{ | *definindo a base do núcleo e a base do espaço. | ||
Seja <math> \{v_1, v_2, ..., v_k \} \;</math> uma base do Ker(T). Existem vetores <math> v_j, \;</math> com j=k+1,...,n onde <math> \{v_1, v_2, ..., v_k, v_{k+1}, ... v_n \} \;</math> é uma base de V. | |||
* definindo a base da imagem. | |||
Tome <math>T{</math> | |||
<math></math> | |||
== Funcionais Lineares == | == Funcionais Lineares == |
Edição das 15h22min de 17 de setembro de 2011
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Transformações Lineares
Definição
- Definição
Uma função onde e são espaços vetoriais sobre um corpo é dita uma transformação linear se, para todos e para todo tem-se
Existência de uma transformação
Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a . Seja uma base de V e vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear .
Núcleo
- Definição
Seja uma transformação linear entre os espaços vetoriais V e W. O núcleo da transformação linear, Ker(T), é a imagem inversa do vetor nulo em W:
Teorema
O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio
A demonstração é simples:
- Ker(T) não é vazio, pois 0V é um elemento de Ker(T), já que T(0V) = 0W
- Se então T(v) = T(w) = 0, logo, pela linearidade de T, T(v + w) = 0 e
- Se e temos logo ou seja,
Posto e Nulidade
Se , o posto(T) = dim Im(T) e a Nulidade(T) = dim Ker(T)
Teorema do posto e da nulidade
Sejam V e W espaço vetoriais sobre o corpo K e . Se , então posto(T) + Nulidade(T) = dim V
Prova
- definindo a base do núcleo e a base do espaço.
Seja uma base do Ker(T). Existem vetores com j=k+1,...,n onde é uma base de V.
- definindo a base da imagem.
Tome Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle T{}
Funcionais Lineares
Definição
- Definição
Uma função onde V é um espaço vetorial sobre K, é chamada de funcional linear se, e
- Teorema (existência e unicidade)
Se V é um espaço vetorial de dimensão n e é uma base de V, então existe um único funcional f, tal que e
- Teorema (base dual)
Se V é um espaço vetorial, e é uma base de V, então existe uma única base de tal que
- Definição
- é chamada de base dual de
- é chamado de espaço dual de V
Corolários:
Teoremas
- Teorema (representação dos funcionais lineares)
Sejam V um espaço vetorial sobre K, com produto interno, e um funcional linear. Então existe um único vetor tal que
Demonstra-se ainda que
Adjunto de um operador linear
Definição
- Definição
Seja V um espaço vetorial. O operador adjunto, de um determinado operador linear é definido pela igualdade:
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):
Operadores especiais
- Auto-adjunto ()
- Unitário ()
- Normal ()
Operador auto-adjunto
- Definição
é chamado de auto-adjunto se
Uma matriz A é auto-adjunta se
- Se é chamada simétrica.
- Se é chamada hermitiana.
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:
- Se então
- Se V é complexo e então
Prove:
- Se e então
- Seja com V complexo. Então
Operador unitário
- Definição
é chamado de unitário se
Uma matriz A é unitária se
Prove:
- T é unitário (T preserva o produto interno)
- T é unitário (T preserva a norma)
- T é unitário é unitário
Operador normal
- Definição
é chamado de normal se
Uma matriz A é normal se
Prove:
- Todo operador auto-adjunto é normal
- Todo operador unitário é normal
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.
Subespaço invariante
Definição
- Definição
W, subespaço vetorial de V, é dito invariante sob o operador se
Dizemos também que W é T-invariante.
Exercícios
Prove:
- Se W é T-invariante, então é -invariante.
- Se W é T-invariante e T é auto-adjunto, então W é -invariante.
- Se W é T-invariante e T é inversível, então
- Se W é T-invariante e T é inversível, então W é -invariante e
- Se W é T-invariante e T é unitário, então W é -invariante (ou -invariante).
- Se W é T-invariante e T é unitário, então é T-invariante.