Álgebra linear/Transformações lineares: mudanças entre as edições
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{{ | {{Redistribuição de conteúdo}} | ||
{{Esboço|Matemática}} | |||
== Transformações Lineares == | |||
=== Definição === | |||
{{Definição | |||
|Uma função <math>T : V \to W,</math> onde <math>V</math> e <math>W</math> são espaços vetoriais sobre um corpo <math>K,</math> é dita uma ''transformação linear'' se, para todos <math>u, v \in V</math> e para todo <math>\lambda \in K,</math> tem-se | |||
: <math> \;T(u + v) = T(u) + T(v)</math> | |||
: <math>T(\lambda u) = \lambda \, T(u)</math> | |||
}} | |||
=== Existência de uma transformação === | |||
Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a <math> dim \; V < \infty </math>. Seja <math> \{v_1, v_2,...,v_n \} \; </math> uma base de V e <math> w_1, w_2,...,w_n \;</math> vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear <math>T:V \mapsto W , Tv_i=w_i, i=1,...,n</math>. | |||
{{Prova| | |||
*T existe e está bem definida | |||
*:Dado <math> v \in V, \exists x=(x_1,...,x_n), x_i \in K, i=1,...,n</math> tal que <math> v=\sum_{i=1}^n x_iv_i</math>. Podemos definir T em v como <math> Tv=\sum_{i=1}^n x_iw_i</math>. Sendo <math> \{v_1, v_2,...,v_n \} \; </math> uma base, tem-se a unicidade de <math>(x_1,...,x_n)</math> e, consequentemente, T está bem definida por meio da regra que associa o vetor <math>v \in V</math> ao vetor <math>Tv \in W</math>. Vemos através da definição que <math> Tv=\sum_{i=1}^n x_iTv_i=\sum_{i=1}^n x_iw_i \Rightarrow Tv_i=w_i, i=1,...,n</math>. | |||
*T é linear | |||
*:Tome <math>w \in V, w = \sum_{i=1}^n y_iv_i, c \in K</math>. Assim <math> cv+w = c\sum_{i=1}^n x_iv_i + \sum_{i=1}^n y_iv_i = \sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)v_i </math>. Pela definição <math>T(cv+w)=\sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)w_i</math>. De outro modo <math>cTv+ Tw=c\sum_{i=1}^n x_iw_i+ \sum_{i=1}^ny_iw_i = \sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)w_i</math>. Portanto <math>T(cv+w)=cTv+ Tw \;</math>. | |||
*T é única | |||
*:Suponha que exista <math> U:V \mapsto W, Uv_i=w_i, i=1,...,n \; </math>, então se <math>v=\sum_{i=1}^n x_iv_i </math>, então <math>Uv=\sum_{i=1}^n x_iUv_i=\sum_{i=1}^n x_iw_i = Tv, \forall v \in V</math>. | |||
}} | |||
== Imagem de uma transformação linear == | |||
A seguir será discutido um exemplo de como achar a imagem de uma transformação linear. Considere <math> T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2</math>, definida por <math>T(x,y)=(2x+3y, 4x-3y)</math>. | |||
O valor de <math>T</math> em um ponto <math>(x, y)</math> pode ser reescrito da seguinte forma: | |||
:<math> T(x, y) = (2x+3y,4x-3y) = x(2,4) + y(3,-3)</math>. | |||
Consequentemente, todo ponto da imagem é uma combinação linear dos vetores <math>(2,4)</math> e <math>(3,-3)</math>, isto é, tais vetores formam um conjunto de geradores para a imagem de <math>T</math>. Como poderá ser verificado pelo leitor<ref>Ver por exemplo [http://www.wolframalpha.com/input/?i=vectors+%282%2C4%29+and+%283%2C+%E2%88%923%29 no Wolfram Alpha]</ref>, estes vetores também são linearmente independentes, constituindo portanto uma base para a imagem de <math>T</math>. | |||
== Núcleo == | == Núcleo == | ||
{{Definição | {{Definição | ||
|Seja <math>T: V \to W\,</math> uma transformação linear entre os espaços vetoriais ''V'' e ''W''. O '''núcleo''' da transformação linear, '''Ker(T)''', é a imagem inversa do vetor nulo em W: | |Seja <math>T: V \to W\,</math> uma transformação linear entre os espaços vetoriais ''V'' e ''W''. O '''núcleo''' da transformação linear, '''Ker(T)''', é a imagem inversa do vetor nulo em W: | ||
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}} | }} | ||
===Teorema do núcleo=== | |||
O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio | O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio | ||
A demonstração é simples: | A demonstração é simples: | ||
* ''Ker(T)'' não é vazio, pois 0<sub>V</sub> é um elemento de ''Ker(T)'', já que ''T(0<sub>V</sub>) = 0<sub>W</sub>'' | * ''Ker(T)'' não é vazio, pois 0<sub>V</sub> é um elemento de ''Ker(T)'', já que ''T(0<sub>V</sub>) = 0<sub>W</sub>'' | ||
* Se <math>v, w \in Ker(T)\,</math> | * Se <math>v, w \in Ker(T)\,,</math> então ''T(v) = T(w) = 0'', logo, pela linearidade de ''T'', ''T(v + w) = 0'' e <math>v + w \in Ker(T)\,</math> | ||
* Se <math>\lambda \in K\,</math> e <math>v \in Ker(T)\,</math> | * Se <math>\lambda \in K\,</math> e <math>v \in Ker(T)\,,</math> temos <math>T(v) = 0\,</math> logo <math>T(\lambda v) = \lambda T(v) = \lambda 0 = 0\,,</math> ou seja, <math>\lambda v \in Ker(T)\,</math> | ||
== Posto e nulidade == | |||
Se <math> dim V< \infty </math>, e <math> T:V \mapsto W </math> | |||
* O posto(T) = dim Im(T),isto é, a dimensão da imagem de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram toda a imagem de T(V). | |||
e | |||
* A Nulidade(T) = dim Ker(T), isto é, é a dimensão do núcleo de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram todo o núcleo de T(V). | |||
==== Teorema do posto e da nulidade ==== | |||
Sejam V e W espaço vetoriais sobre o corpo K e <math>T:V \mapsto W</math>. Se <math> dim V < \infty </math>, então posto(T) + Nulidade(T) = dim V | |||
''' Prova ''' | |||
* Definindo a base do núcleo e a base do espaço: | |||
Seja <math> \{v_1, v_2, ..., v_k \} \;</math> uma base do Ker(T). Existem vetores <math> v_j, \;</math> com j=k+1,...,n onde <math> \{v_1, v_2, ..., v_k, v_{k+1}, ... v_n \} \;</math> é uma base de V. | |||
* Definindo a base da imagem: | |||
Como <math> \{v_1, v_2, ..., v_n \} \;</math> é a base de V, T aplicada nessa base gera um conjunto que gera a imagem de T por V. Aplicando T sobre os vetores da base de V, temos <math>Tv_1, Tv_2, ..., Tv_n \;</math>, mas <math>Tv_1 = Tv_2 = ... = Tv_k = 0 \;</math>, pela definição de núcleo. Assim os vetores <math>Tv_{k+1}, ..., Tv_n \;</math> geram a imagem de T(V). | |||
* Provando que os vetores são independentes: | |||
Como queremos uma base, eles devem ser independentes, isto é, devem <math>\exists c_i \in K,</math> tal que <math>\sum_{i=1}^n c_iv_i = 0 \Leftrightarrow c_i=0, i=1,...,n</math>. | |||
Tomemos <math>\sum_{i=k+1}^n c_i(Tv_i) = 0 \Leftrightarrow T(\sum_{i=k+1}^n c_iv_i) = 0</math>. Logo <math>w=\sum_{i=k+1}^n c_iv_i \in Ker(T)</math>. Como <math> w \in Ker(T), w = \sum_{i=1}^k b_iv_i, b_i \in K</math>. | |||
Portanto <math>w=\sum_{i=k+1}^n c_iv_i = \sum_{i=1}^k b_iv_i \Leftrightarrow \sum_{i=k+1}^n c_iv_i - \sum_{i=1}^k b_iv_i = 0</math>. Como <math> v_1, v_2, ..., v_k \;</math> são L.I., então <math> b_i = c_i = 0, \forall i = 1,...,n </math>. | |||
* Definindo posto e nulidade: | |||
O Posto(T) = dim Im(T). Como <math>Tv_{k+1}, ..., Tv_n \;</math> geram a imagem de T(V), logo o posto(T)= n - (k+1) +1 = n-k. | |||
A nulidade (T) = dim Ker(T). Como <math> \{v_1, v_2, ..., v_k \} \;</math> é uma base do Ker(T), logo a Nulidade (T)= k - 1 + 1 = k | |||
Como n = dim V, Nulidade(T)=k e Posto(T)=n-k, portanto Posto(T) + Nulidade(T) = dim(V). | |||
== Funcionais lineares == | |||
=== Definição === | |||
{{Definição | |||
|Uma função <math>f: V \rightarrow K ,</math> onde V é um espaço vetorial sobre '''K''', é chamada de funcional linear se, <math>\forall u, v \in V</math> e <math> \forall \lambda \in K:</math> | |||
: <math>f(u + v) = f(u) + f(v)</math> | |||
: <math>f( \lambda v) = \lambda f(v)</math> | |||
}} | |||
{{Teorema||(existência e unicidade) | |||
|Se '''V''' é um espaço vetorial de dimensão ''n'' e <math>\alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n \}</math> é | |||
uma base de '''V''', então existe um único funcional ''f'', tal que <math>f(v_i) = \lambda_i, i = 1, 2, \ldots, n</math> e <math>\lambda_i \in K</math> | |||
}} | |||
{{Teorema||(base dual) | |||
|Se '''V''' é um espaço vetorial, <math>\mathrm{dim} V = n</math> e <math>\beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} </math> | |||
é uma base de V, então existe uma única base <math>\beta^* = \{f_1, f_2, \ldots, f_n\}</math> de <math>V^*</math> | |||
tal que <math>f_i(v_j) = \delta_{ij}</math> | |||
}} | |||
{{Definição | |||
|:<math>\beta^{*}</math> é chamada de base dual de <math>\beta</math> | |||
: <math>V^*</math> é chamado de espaço dual de V | |||
}} | |||
'''Corolários''': | |||
: <math>f = \sum f(v_i)f_i</math> | |||
: <math>v = \sum f_i(v)v_i</math> | |||
=== Teoremas === | |||
{{Teorema||(representação dos funcionais lineares) | |||
|Sejam '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n,</math> com produto interno, e | |||
<math>f: V \rightarrow K</math> um funcional linear. Então existe um único vetor <math>v_o \in V,</math> tal | |||
que <math>f(v) = \langle v, v_o \rangle,</math> <math>\forall v \in V.</math> | |||
}} | |||
Demonstra-se ainda que <math>v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i</math> | |||
== Operador linear == | |||
Dizemos que T uma transformação linear, <math> T:V \mapsto V</math> é chamada operador linear de T sobre V. | |||
== Adjunto de um operador linear == | |||
=== Definição === | |||
{{Definição | |||
|Seja '''V''' um espaço vetorial. | |||
O operador adjunto, <math>T^* : V \rightarrow V ,</math> de um determinado operador linear <math>T : V \rightarrow V</math> é definido pela igualdade: | |||
: <math> \langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V</math> | |||
}} | |||
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente. | |||
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!): | |||
: <math>(S + T)^* = S^* + T^*</math> | |||
: <math>(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*</math> | |||
: <math>(S \circ T)^* = T^* \circ S^*</math> | |||
{{Proposição | |||
|Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n,</math> com produto interno. | |||
Seja <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> uma base ortonormal de '''V'''. Então | |||
<math>[T]_\alpha = (a_{ij}),</math> onde <math>a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle</math> | |||
}} | |||
{{Corolário | |||
|Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n,</math> com produto interno. | |||
Então, para qualquer base <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> ortonormal de '''V''', temos que | |||
a matriz <math>[T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t.</math> | |||
}} | |||
== Operadores especiais == | |||
* Auto-adjunto (<math>T^* = T</math>) | |||
* Unitário (<math>T^* = T^{-1}</math>) | |||
* Normal (<math>T^*T = TT^*</math>) | |||
=== Operador auto-adjunto === | |||
{{Definição | |||
|<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de auto-adjunto se <math>T^* = T.</math> | |||
}} | |||
Uma matriz '''A''' é auto-adjunta se <math>\overline{A}^t = A.</math> | |||
* Se <math>K = R,</math> <math>[T]_\alpha</math> é chamada simétrica. | |||
* Se <math>K = C,</math> <math>[T]_\alpha</math> é chamada hermitiana. | |||
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto: | |||
: Se <math>\langle T(u), v \rangle = 0, \forall u, v \in V,</math> então <math>T = 0.</math> | |||
: Se '''V''' é complexo e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V,</math> então <math>T = 0.</math> | |||
'''Prove''': | |||
* Se <math>T^* = T</math> e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V,</math> então <math>T = 0.</math> | |||
* Seja <math>T: V \rightarrow V,</math> com '''V''' complexo. Então <math>T^* = T \iff \langle T(v), v \rangle \in R.</math> | |||
=== Operador unitário === | |||
{{Definição | |||
|<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de unitário se <math>T^* = T^{-1}.</math> | |||
}} | |||
Uma matriz '''A''' é unitária se <math>{\overline{A}}^t = A^{-1}</math> | |||
'''Prove''': | |||
* '''T''' é unitário <math>\iff \langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle</math> ('''T''' preserva o produto interno) | |||
* '''T''' é unitário <math>\iff |T(u)| = |u|</math> ('''T''' preserva a norma) | |||
* '''T''' é unitário <math>\iff T^{-1}</math> é unitário | |||
=== Operador normal === | |||
{{Definição | |||
|<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de normal se <math>TT^* = T^*T.</math> | |||
}} | |||
Uma matriz '''A''' é normal se <math>AA^* = A^*A</math> | |||
'''Prove''': | |||
* Todo operador auto-adjunto é normal | |||
* Todo operador unitário é normal | |||
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos. | |||
== Subespaço invariante == | |||
=== Definição === | |||
{{Definição | |||
|'''W''', subespaço vetorial de '''V''', é dito invariante sob o operador <math>T: V \rightarrow V,</math> se <math>T(W) \subset W.</math> | |||
}} | |||
Dizemos também que '''W''' é '''T'''-invariante. | |||
=== Exercícios === | |||
'''Prove''': | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante, então <math>W^\perp</math> é <math>T^*</math>-invariante. | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é auto-adjunto, então '''W''' é <math>T^*</math>-invariante. | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então <math>T(W) = W.</math> | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante e <math>T^{-1}(W) = W.</math> | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante (ou <math>T^*</math>-invariante). | |||
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então <math>W^\perp</math> é '''T'''-invariante. | |||
== Notas == | |||
<references/> | |||
== Ver também == | == Ver também == | ||
=== Wikipédia === | === Wikipédia === | ||
* [ | * [[w:Transformação linear#Núcleo|Núcleo da transformação linear]] | ||
* [[w:Transformação linear|Transformação linear]] | |||
{{ | {{AutoCat}} | ||
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Edição atual tal como às 20h05min de 28 de janeiro de 2014
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Transformações Lineares
Definição
- Definição
Uma função onde e são espaços vetoriais sobre um corpo é dita uma transformação linear se, para todos e para todo tem-se
Existência de uma transformação
Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a . Seja uma base de V e vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear .
Imagem de uma transformação linear
A seguir será discutido um exemplo de como achar a imagem de uma transformação linear. Considere , definida por . O valor de em um ponto pode ser reescrito da seguinte forma:
- .
Consequentemente, todo ponto da imagem é uma combinação linear dos vetores e , isto é, tais vetores formam um conjunto de geradores para a imagem de . Como poderá ser verificado pelo leitor[1], estes vetores também são linearmente independentes, constituindo portanto uma base para a imagem de .
Núcleo
- Definição
Seja uma transformação linear entre os espaços vetoriais V e W. O núcleo da transformação linear, Ker(T), é a imagem inversa do vetor nulo em W:
Teorema do núcleo
O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio
A demonstração é simples:
- Ker(T) não é vazio, pois 0V é um elemento de Ker(T), já que T(0V) = 0W
- Se então T(v) = T(w) = 0, logo, pela linearidade de T, T(v + w) = 0 e
- Se e temos logo ou seja,
Posto e nulidade
Se , e
- O posto(T) = dim Im(T),isto é, a dimensão da imagem de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram toda a imagem de T(V).
e
- A Nulidade(T) = dim Ker(T), isto é, é a dimensão do núcleo de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram todo o núcleo de T(V).
Teorema do posto e da nulidade
Sejam V e W espaço vetoriais sobre o corpo K e . Se , então posto(T) + Nulidade(T) = dim V
Prova
- Definindo a base do núcleo e a base do espaço:
Seja uma base do Ker(T). Existem vetores com j=k+1,...,n onde é uma base de V.
- Definindo a base da imagem:
Como é a base de V, T aplicada nessa base gera um conjunto que gera a imagem de T por V. Aplicando T sobre os vetores da base de V, temos , mas , pela definição de núcleo. Assim os vetores geram a imagem de T(V).
- Provando que os vetores são independentes:
Como queremos uma base, eles devem ser independentes, isto é, devem tal que .
Tomemos . Logo . Como .
Portanto . Como são L.I., então .
- Definindo posto e nulidade:
O Posto(T) = dim Im(T). Como geram a imagem de T(V), logo o posto(T)= n - (k+1) +1 = n-k.
A nulidade (T) = dim Ker(T). Como é uma base do Ker(T), logo a Nulidade (T)= k - 1 + 1 = k
Como n = dim V, Nulidade(T)=k e Posto(T)=n-k, portanto Posto(T) + Nulidade(T) = dim(V).
Funcionais lineares
Definição
- Definição
Uma função onde V é um espaço vetorial sobre K, é chamada de funcional linear se, e
- Teorema (existência e unicidade)
Se V é um espaço vetorial de dimensão n e é uma base de V, então existe um único funcional f, tal que e
- Teorema (base dual)
Se V é um espaço vetorial, e é uma base de V, então existe uma única base de tal que
- Definição
- é chamada de base dual de
- é chamado de espaço dual de V
Corolários:
Teoremas
- Teorema (representação dos funcionais lineares)
Sejam V um espaço vetorial sobre K, com produto interno, e um funcional linear. Então existe um único vetor tal que
Demonstra-se ainda que
Operador linear
Dizemos que T uma transformação linear, é chamada operador linear de T sobre V.
Adjunto de um operador linear
Definição
- Definição
Seja V um espaço vetorial. O operador adjunto, de um determinado operador linear é definido pela igualdade:
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):
Operadores especiais
- Auto-adjunto ()
- Unitário ()
- Normal ()
Operador auto-adjunto
- Definição
é chamado de auto-adjunto se
Uma matriz A é auto-adjunta se
- Se é chamada simétrica.
- Se é chamada hermitiana.
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:
- Se então
- Se V é complexo e então
Prove:
- Se e então
- Seja com V complexo. Então
Operador unitário
- Definição
é chamado de unitário se
Uma matriz A é unitária se
Prove:
- T é unitário (T preserva o produto interno)
- T é unitário (T preserva a norma)
- T é unitário é unitário
Operador normal
- Definição
é chamado de normal se
Uma matriz A é normal se
Prove:
- Todo operador auto-adjunto é normal
- Todo operador unitário é normal
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.
Subespaço invariante
Definição
- Definição
W, subespaço vetorial de V, é dito invariante sob o operador se
Dizemos também que W é T-invariante.
Exercícios
Prove:
- Se W é T-invariante, então é -invariante.
- Se W é T-invariante e T é auto-adjunto, então W é -invariante.
- Se W é T-invariante e T é inversível, então
- Se W é T-invariante e T é inversível, então W é -invariante e
- Se W é T-invariante e T é unitário, então W é -invariante (ou -invariante).
- Se W é T-invariante e T é unitário, então é T-invariante.
Notas
- ↑ Ver por exemplo no Wolfram Alpha