Álgebra linear/Autovetores: mudanças entre as edições
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polinômio característico de '''A'''. | |||
'''Prove''': | '''Prove''': | ||
* | * Seja <math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> uma base de '''V''', e '''v''' um autovetor de '''T''' associado ao autovalor <math>\lambda</math>. Então <math>v]_\alpha</math> é um autovetor da matriz <math> [T]_\alpha</math> associado ao autovalor <math>\lambda</math> de <math> [T]_\alpha</math> | ||
* Se <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> são duas bases quaisquer de '''V''', então o polinômio característico de <math> [T]_\alpha</math> é igual ao polinômio característico de <math> [T]_\beta</math>. | * Se <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> são duas bases quaisquer de '''V''', então o polinômio característico de <math> [T]_\alpha</math> é igual ao polinômio característico de <math> [T]_\beta</math>. | ||
Edição das 23h31min de 13 de outubro de 2005
Autovetores e autovalores
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre K. Um vetor não nulo do espaço vetorial V é dito um autovetor de T se existir um tal que . Neste caso, é dito autovalor de T.
Prove:
- Se v é um autovetor de T associado ao autovalor , então também é um autovetor associado a .
- O conjunto é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que é o conjunto de todos os autovetores associados a unido ao vetor nulo.
Autovetores de uma matriz quadrada
Definição: Um autovalor de uma matriz é um escalar tal que existe um vetor X, com , onde X é chamado de autovetor de A associado a .
Polinômio característico
Definição: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O polinômio é chamado de polinômio característico de A.
Prove:
- Seja uma base de V, e v um autovetor de T associado ao autovalor . Então é um autovetor da matriz associado ao autovalor de
- Se e são duas bases quaisquer de V, então o polinômio característico de é igual ao polinômio característico de .
Operador diagonalizável
Definição: Um operador T é dito diagonalizável se existir uma base de V tal que é uma matriz diagonal.
Definição: Duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B, são ditas semelhantes se existir uma matriz P, de mesma ordem, inversível, tal que .
Definição: Uma matriz é dita diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal D (ou seja, existe uma matriz P, inversível, tal que ).
Prove:
- Se são autovetores de T associados, respectivamente, aos autovetores tais que se , então é LI.
- Seja uma base de V. A matriz é diagonal é uma base de V formada por autovetores de T
- Se T é auto-adjunto e é um autovalor de T, então .
- Se T é auto-adjunto e são autovetores de T associados aos autovalores (distintos), respectivamente, então , se .
- Se T é unitário e é um autovalor de T, então .
- Se é um autovalor de T e T é normal, então é autovalor de .
- é T-invariante.
- é -invariante.
- Se T é normal e é autovalor de T, então é -invariante.
- Se T é normal, então é T-invariante.