Álgebra linear/Autovetores: mudanças entre as edições
Sem resumo de edição |
|||
Linha 24: | Linha 24: | ||
<math>X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math> | <math>X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math> | ||
==Polinômio | ==Polinômio característicos== | ||
'''Definição''': Seja '''A''' uma matriz quadrada de ordem '''n'''. | '''Definição''': Seja '''A''' uma matriz quadrada de ordem '''n'''. |
Edição das 01h45min de 24 de abril de 2007
Autovetores e autovalores
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre K. Um vetor não nulo do espaço vetorial V é dito um autovetor de T se existir um tal que . Neste caso, é dito autovalor de t.
Prove:
- Se v é um autovetor de T associado ao autovalor , então também é um autovetor associado a .
- O conjunto é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que é o conjunto de todos os autovetores associados a unido ao vetor nulo.
Autovetores de uma matriz quadrada
Definição: Um autovalor de uma matriz é um escalar tal que existe um vetor X, com , onde X é chamado de autovetor de A associado a .
Polinômio característicos
Definição: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O polinômio é chamado de polinômio característico de A.
Prove:
- Seja uma base de V, e v um autovetor de T associado ao autovalor . Então é um autovetor da matriz associado ao autovalor de
- Se e são duas bases quaisquer de V, então o polinômio característico de é igual ao polinômio característico de .
Operador diagonalizável
Definição: Um operador T é dito diagonalizável se existir uma base de V tal que é uma matriz diagonal.
Definição: Duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B, são ditas semelhantes se existir uma matriz P, de mesma ordem, inversível, tal que .
Definição: Uma matriz é dita diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal D (ou seja, existe uma matriz P, inversível, tal que ).
Prove:
- Se são autovetores de T associados, respectivamente, aos autovetores tais que se , então é LI.
- Seja uma base de V. A matriz é diagonal é uma base de V formada por autovetores de T
- Se T é auto-adjunto e é um autovalor de T, então .
- Se T é auto-adjunto e são autovetores de T associados aos autovalores (distintos), respectivamente, então , se .
- Se T é unitário e é um autovalor de T, então .
- Se é um autovalor de T e T é normal, então é autovalor de .
- é T-invariante.
- é -invariante.
- Se T é normal e é autovalor de T, então é -invariante.
- Se T é normal, então é T-invariante.