Álgebra linear/Autovetores: mudanças entre as edições
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** Os autovetores são vetores que quando aplicados numa função Transformação, resulta num vetor de mesma direção. Os autovetores estarão sempre dependentes a função Transformação. Ou seja, para cada função específica existirá um conjunto de autovetores. | |||
** Quando os autovetores aplicados a uma função Transformação resultar num vetor de mesma direção, acontece que esse resultado é um escalar vezes o próprio vetor, por isso às vezes é chamado vetor próprio. Esse escalar é um valor constante, e sempre estará ligado a um autovetor, por isso o chamamos de autovalor. | |||
** Cada função Transformação contém uma base de autovetores, e cada autovetor têm um autovalor associado a ele. | |||
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Edição das 17h06min de 27 de março de 2008
Autovetores e autovalores
Definição:
Seja V um espaço vetorial sobre K. Um vetor não nulo do espaço vetorial V é dito um autovetor de T se existir um tal que . Neste caso, é dito autovalor de t.
- Um significado prático:
- Os autovetores são vetores que quando aplicados numa função Transformação, resulta num vetor de mesma direção. Os autovetores estarão sempre dependentes a função Transformação. Ou seja, para cada função específica existirá um conjunto de autovetores.
- Quando os autovetores aplicados a uma função Transformação resultar num vetor de mesma direção, acontece que esse resultado é um escalar vezes o próprio vetor, por isso às vezes é chamado vetor próprio. Esse escalar é um valor constante, e sempre estará ligado a um autovetor, por isso o chamamos de autovalor.
- Cada função Transformação contém uma base de autovetores, e cada autovetor têm um autovalor associado a ele.
Prove:
- Se v é um autovetor de T associado ao autovalor , então também é um autovetor associado a .
- O conjunto é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que é o conjunto de todos os autovetores associados a unido ao vetor nulo.
Autovetores de uma matriz quadrada
Definição:
Um autovalor de uma matriz é um escalar tal que existe um vetor X, com , onde X é chamado de autovetor de A associado a .
Polinômio característico
Definição: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O polinômio é chamado de polinômio característico de A.
Prove:
- Seja uma base de V, e v um autovetor de T associado ao autovalor . Então é um autovetor da matriz associado ao autovalor de
- Se e são duas bases quaisquer de V, então o polinômio característico de é igual ao polinômio característico de .
Operador diagonalizável
Definição:
Um operador T é dito diagonalizável se existir uma base de V tal que é uma matriz diagonal.
Definição:
Duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B, são ditas semelhantes se existir uma matriz P, de mesma ordem, inversível, tal que .
Definição:
Uma matriz é dita diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal D (ou seja, existe uma matriz P, inversível, tal que ).
Prove:
- Se são autovetores de T associados, respectivamente, aos autovetores tais que se , então é LI.
- Seja uma base de V. A matriz é diagonal é uma base de V formada por autovetores de T
- Se T é auto-adjunto e é um autovalor de T, então .
- Se T é auto-adjunto e são autovetores de T associados aos autovalores (distintos), respectivamente, então , se .
- Se T é unitário e é um autovalor de T, então .
- Se é um autovalor de T e T é normal, então é autovalor de .
- é T-invariante.
- é -invariante.
- Se T é normal e é autovalor de T, então é -invariante.
- Se T é normal, então é T-invariante.