Álgebra linear/Autovetores: mudanças entre as edições
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Seja '''V''' um espaço vetorial sobre K, e seja '''T''' um operador linear sobre '''V'''. | Seja '''V''' um espaço vetorial sobre K, e seja '''T''' um operador linear sobre '''V'''. | ||
Um vetor não nulo <math>v</math> de '''V''' é dito um '''autovetor''' de '''T''' se existir um <math>\lambda \in K</math> | Um vetor não nulo <math>v</math> de '''V''' é dito um '''autovetor''' (ou '''vector próprio''') de '''T''' se existir um <math>\lambda \in K</math> | ||
tal que <math>T(v) = \lambda v</math>. Neste caso, <math>\lambda</math> é dito '''autovalor''' de '''T'''. | tal que <math>T(v) = \lambda v</math>. Neste caso, <math>\lambda</math> é dito '''autovalor''' (ou '''valor próprio''') de '''T'''. | ||
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Edição das 01h59min de 12 de julho de 2008
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Autovetores e autovalores
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Um significado prático:
- Os autovetores são vetores que, sob a ação de um operador linear, resultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estão sempre ligados ao operador linear, ou seja, cada operador linear admite um conjunto específico de autovetores.
- Para cada autovalor , existem infinitos autovetores tais que . Dizemos que esses são autovetores associados ao autovalor .
Prove:
- Se v é um autovetor de T associado ao autovalor , então também é um autovetor associado a .
- O conjunto é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que é o conjunto de todos os autovetores associados a unido ao vetor nulo.
Autovetores de uma matriz quadrada
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Polinômio característico
- Definição
Insira o texto da definição.
Prove:
- Seja uma base de V, e v um autovetor de T associado ao autovalor . Então é um autovetor da matriz associado ao autovalor de
- Se e são duas bases quaisquer de V, então o polinômio característico de é igual ao polinômio característico de .
Operador diagonalizável
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Prove:
- Se são autovetores de T associados, respectivamente, aos autovetores tais que se , então é LI.
- Seja uma base de V. A matriz é diagonal é uma base de V formada por autovetores de T
- Se T é auto-adjunto e é um autovalor de T, então .
- Se T é auto-adjunto e são autovetores de T associados aos autovalores (distintos), respectivamente, então , se .
- Se T é unitário e é um autovalor de T, então .
- Se é um autovalor de T e T é normal, então é autovalor de .
- é T-invariante.
- é -invariante.
- Se T é normal e é autovalor de T, então é -invariante.
- Se T é normal, então é T-invariante.
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