Álgebra linear/Autovetores: mudanças entre as edições
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* Os autovetores são vetores que, sob a ação de um operador linear, resultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estão sempre ligados ao operador linear, ou seja, cada operador linear admite um conjunto específico de autovetores. | * Os autovetores são vetores que, sob a ação de um operador linear, resultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estão sempre ligados ao operador linear, ou seja, cada operador linear admite um conjunto específico de autovetores. | ||
* Para cada autovalor <math>\lambda</math>, | * Para cada autovalor <math>\lambda</math>, podem existir vários autovetores <math>v</math> tais que <math>T(v) = \lambda v</math>. Dizemos que esses são ''autovetores associados ao autovalor <math>\lambda</math>''. Haverá infinitos autovetores associados a cada autovalor, exceto no caso do corpo ''K'' ser um corpo finito. | ||
'''Prove''': | '''Prove''': | ||
* Se '''v''' é um autovetor de T associado ao autovalor <math>\lambda</math>, | * Se '''v''' é um autovetor de T associado ao autovalor <math>\lambda</math>, e <math>a \in K\,</math> é um escalar não-nulo, então <math>av</math> também é um autovetor associado a <math>\lambda</math>. | ||
* O conjunto <math>V_\lambda = \{ v \in V | T(v) = \lambda v \}</math> é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que <math>V_\lambda</math> é o conjunto de todos os autovetores associados a <math>\lambda</math> unido ao vetor nulo. | * O conjunto <math>V_\lambda = \{ v \in V | T(v) = \lambda v \}</math> é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que <math>V_\lambda</math> é o conjunto de todos os autovetores associados a <math>\lambda</math> unido ao vetor nulo. | ||
Edição das 03h27min de 15 de abril de 2009
Predefinição:Navegação/Simples
Autovetores e autovalores
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Um significado prático:
- Os autovetores são vetores que, sob a ação de um operador linear, resultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estão sempre ligados ao operador linear, ou seja, cada operador linear admite um conjunto específico de autovetores.
- Para cada autovalor , podem existir vários autovetores tais que . Dizemos que esses são autovetores associados ao autovalor . Haverá infinitos autovetores associados a cada autovalor, exceto no caso do corpo K ser um corpo finito.
Prove:
- Se v é um autovetor de T associado ao autovalor , e é um escalar não-nulo, então também é um autovetor associado a .
- O conjunto é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que é o conjunto de todos os autovetores associados a unido ao vetor nulo.
Autovetores de uma matriz quadrada
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Polinômio característico
- Definição
Insira o texto da definição.
Prove:
- Seja uma base de V, e v um autovetor de T associado ao autovalor . Então é um autovetor da matriz associado ao autovalor de
- Se e são duas bases quaisquer de V, então o polinômio característico de é igual ao polinômio característico de .
Operador diagonalizável
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Prove:
- Se são autovetores de T associados, respectivamente, aos autovetores tais que se , então é LI.
- Seja uma base de V. A matriz é diagonal é uma base de V formada por autovetores de T
- Se T é auto-adjunto e é um autovalor de T, então .
- Se T é auto-adjunto e são autovetores de T associados aos autovalores (distintos), respectivamente, então , se .
- Se T é unitário e é um autovalor de T, então .
- Se é um autovalor de T e T é normal, então é autovalor de .
- é T-invariante.
- é -invariante.
- Se T é normal e é autovalor de T, então é -invariante.
- Se T é normal, então é T-invariante.