Álgebra linear/Autovetores: mudanças entre as edições
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|Seja '''V''' um espaço vetorial sobre K, e seja '''T''' um operador linear sobre '''V'''. | |||
Um vetor não nulo <math>v</math> de '''V''' é dito um '''autovetor''' (ou '''vector próprio''') de '''T''' se existir um <math>\lambda \in K</math> | |||
Seja '''V''' um espaço vetorial sobre K, e seja '''T''' um operador linear sobre '''V'''. | tal que <math>T(v) = \lambda v</math>. Neste caso, <math>\lambda</math> é dito '''autovalor''' (ou '''valor próprio''') de '''T'''. | ||
Um vetor não nulo <math>v</math> de '''V''' é dito um '''autovetor''' de '''T''' se existir um <math>\lambda \in K</math> | }} | ||
tal que <math>T(v) = \lambda v</math>. Neste caso, <math>\lambda</math> é dito '''autovalor''' de '''T'''. | |||
Um significado prático: | Um significado prático: | ||
* Os autovetores são vetores que, sob a ação de um operador linear, resultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estão sempre ligados ao operador linear, ou seja, cada operador linear admite um conjunto específico de autovetores. | * Os autovetores são vetores que, sob a ação de um operador linear, resultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estão sempre ligados ao operador linear, ou seja, cada operador linear admite um conjunto específico de autovetores. | ||
* Para cada autovalor <math>\lambda</math>, | * Para cada autovalor <math>\lambda</math>, podem existir vários autovetores <math>v</math> tais que <math>T(v) = \lambda v</math>. Dizemos que esses são ''autovetores associados ao autovalor <math>\lambda</math>''. Haverá infinitos autovetores associados a cada autovalor, exceto no caso do corpo ''K'' ser um corpo finito. | ||
'''Prove''': | '''Prove''': | ||
* Se '''v''' é um autovetor de T associado ao autovalor <math>\lambda</math>, | * Se '''v''' é um autovetor de T associado ao autovalor <math>\lambda</math>, e <math>a \in K\,</math> é um escalar não-nulo, então <math>av</math> também é um autovetor associado a <math>\lambda</math>. | ||
* O conjunto <math>V_\lambda = \{ v \in V | T(v) = \lambda v \}</math> é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que <math>V_\lambda</math> é o conjunto de todos os autovetores associados a <math>\lambda</math> unido ao vetor nulo. | * O conjunto <math>V_\lambda = \{ v \in V | T(v) = \lambda v \}</math> é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que <math>V_\lambda</math> é o conjunto de todos os autovetores associados a <math>\lambda</math> unido ao vetor nulo. | ||
==Autovetores de uma matriz quadrada== | ==Autovetores de uma matriz quadrada== | ||
{{Definição | |||
|Um autovalor de uma matriz <math>A_{n\times n}</math> é um escalar | |||
Um autovalor de uma matriz <math>A_{n\times n}</math> é um escalar | |||
<math>\lambda \in K</math> tal que existe um vetor '''X''', com <math>AX = \lambda X</math>, | <math>\lambda \in K</math> tal que existe um vetor '''X''', com <math>AX = \lambda X</math>, | ||
onde X é chamado de autovetor de A associado a <math>\lambda</math>. | onde X é chamado de autovetor de A associado a <math>\lambda</math>. | ||
}} | |||
<math>X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math> | <math>X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math> | ||
==Polinômio característico== | ==Polinômio característico== | ||
{{Definição | |||
|Seja '''A''' uma matriz quadrada de ordem '''n'''. | |||
O polinômio <math>p(\lambda) = \det(A - \lambda I)</math> é chamado de | O polinômio <math>p(\lambda) = \det(A - \lambda I)</math> é chamado de | ||
polinômio característico de '''A'''. | polinômio característico de '''A'''. | ||
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'''Prove''': | '''Prove''': | ||
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==Operador diagonalizável== | ==Operador diagonalizável== | ||
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|Um operador '''T''' é dito ''diagonalizável'' se existir uma base | |||
Um operador '''T''' é dito ''diagonalizável'' se existir uma base | |||
<math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> de '''V''' tal que <math>[T]_\alpha</math> é uma | <math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> de '''V''' tal que <math>[T]_\alpha</math> é uma | ||
matriz diagonal. | matriz diagonal. | ||
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|Duas matrizes quadradas de mesma ordem, '''A''' e '''B''', são ditas | |||
Duas matrizes quadradas de mesma ordem, '''A''' e '''B''', são ditas | |||
''semelhantes'' se existir uma matriz '''P''', de mesma ordem, inversível, tal que | ''semelhantes'' se existir uma matriz '''P''', de mesma ordem, inversível, tal que | ||
<math>B = P^{-1}AP</math>. | <math>B = P^{-1}AP</math>. | ||
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|Uma matriz <math>A_n</math> é dita ''diagonalizável'' se <math>A_n</math> for | |||
Uma matriz <math>A_n</math> é dita ''diagonalizável'' se <math>A_n</math> for | |||
semelhante a uma matriz diagonal '''D''' (ou seja, existe uma matriz P, | semelhante a uma matriz diagonal '''D''' (ou seja, existe uma matriz P, | ||
inversível, tal que <math>D = P^{-1}AP</math>). | inversível, tal que <math>D = P^{-1}AP</math>). | ||
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* Se '''T''' é normal, então <math>V_\lambda^\perp</math> é '''T'''-invariante. | * Se '''T''' é normal, então <math>V_\lambda^\perp</math> é '''T'''-invariante. | ||
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Edição atual tal como às 21h08min de 18 de junho de 2011
Autovetores e autovalores
- Definição
Seja V um espaço vetorial sobre K, e seja T um operador linear sobre V. Um vetor não nulo de V é dito um autovetor (ou vector próprio) de T se existir um tal que . Neste caso, é dito autovalor (ou valor próprio) de T.
Um significado prático:
- Os autovetores são vetores que, sob a ação de um operador linear, resultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estão sempre ligados ao operador linear, ou seja, cada operador linear admite um conjunto específico de autovetores.
- Para cada autovalor , podem existir vários autovetores tais que . Dizemos que esses são autovetores associados ao autovalor . Haverá infinitos autovetores associados a cada autovalor, exceto no caso do corpo K ser um corpo finito.
Prove:
- Se v é um autovetor de T associado ao autovalor , e é um escalar não-nulo, então também é um autovetor associado a .
- O conjunto é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que é o conjunto de todos os autovetores associados a unido ao vetor nulo.
Autovetores de uma matriz quadrada
- Definição
Um autovalor de uma matriz é um escalar tal que existe um vetor X, com , onde X é chamado de autovetor de A associado a .
Polinômio característico
- Definição
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O polinômio é chamado de polinômio característico de A.
Prove:
- Seja uma base de V, e v um autovetor de T associado ao autovalor . Então é um autovetor da matriz associado ao autovalor de
- Se e são duas bases quaisquer de V, então o polinômio característico de é igual ao polinômio característico de .
Operador diagonalizável
- Definição
Um operador T é dito diagonalizável se existir uma base de V tal que é uma matriz diagonal.
- Definição
Duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B, são ditas semelhantes se existir uma matriz P, de mesma ordem, inversível, tal que .
- Definição
Uma matriz é dita diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal D (ou seja, existe uma matriz P, inversível, tal que ).
Prove:
- Se são autovetores de T associados, respectivamente, aos autovetores tais que se , então é LI.
- Seja uma base de V. A matriz é diagonal é uma base de V formada por autovetores de T
- Se T é auto-adjunto e é um autovalor de T, então .
- Se T é auto-adjunto e são autovetores de T associados aos autovalores (distintos), respectivamente, então , se .
- Se T é unitário e é um autovalor de T, então .
- Se é um autovalor de T e T é normal, então é autovalor de .
- é T-invariante.
- é -invariante.
- Se T é normal e é autovalor de T, então é -invariante.
- Se T é normal, então é T-invariante.