Álgebra linear/Formas bilineares e quadráticas: mudanças entre as edições
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Linha 16: | Linha 16: | ||
* Produto interno em um espaço vetorial complexo; | * Produto interno em um espaço vetorial complexo; | ||
* | * <math>f: V \times V \rightarrow K</math>, tal que <math>f(u,v) = 3, \forall u, v \in V</math>; | ||
==Matriz associada a uma forma bilinear== | ==Matriz associada a uma forma bilinear== | ||
Linha 27: | Linha 27: | ||
Então: | Então: | ||
<math>f(X, Y) = X^t A Y</math>, | <math>f(X, Y) = X^t A Y \,</math>, | ||
onde ''A'' é a matriz associada à forma bilinear ''f''. | onde ''A'' é a matriz associada à forma bilinear ''f''. | ||
Linha 33: | Linha 33: | ||
A matriz ''A'' é dada por: | A matriz ''A'' é dada por: | ||
<math> | |||
\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & | \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & | ||
\ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix} | \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix} | ||
</math> | |||
onde <math>a_{ij} = f(v_i, v_j)</math> | onde <math>a_{ij} = f(v_i, v_j) \,</math> |
Edição das 22h41min de 27 de janeiro de 2005
Formas bilineares
Definição: Uma função g do produto cartesiano (onde V é um espaço vetorial de dimensão igual a n) sobre o corpo K () é dita bilinear se, :
Exemplos
- Produto interno em um espaço vetorial real;
- , tal que .
Contra-exemplos
- Produto interno em um espaço vetorial complexo;
- , tal que ;
Matriz associada a uma forma bilinear
Sejam uma forma bilinear, e uma base de V. Sejam X e Y dois vetores de V, sob a forma de matriz coluna:
Então:
,
onde A é a matriz associada à forma bilinear f.
A matriz A é dada por:
onde