Álgebra linear/Formas bilineares e quadráticas: mudanças entre as edições
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Edição das 15h42min de 2 de janeiro de 2006
Formas bilineares
Definição: Uma função g do produto cartesiano (onde V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K) é dita bilinear se, :
Exemplos
- Produto interno em um espaço vetorial real;
- , tal que .
Contra-exemplos
- Produto interno em um espaço vetorial complexo;
- , tal que ;
Matriz associada a uma forma bilinear
Sejam uma forma bilinear, e uma base de V. Sejam X e Y dois vetores de V, sob a forma de matriz coluna:
Então:
,
onde A é a matriz associada à forma bilinear g.
A matriz A é dada por:
onde
Formas bilineares simétricas
Uma forma bilinear é dita simétrica se
Proposição: é uma forma bilinear simétrica se, e somente se, a matriz associada à forma bilinear é simétrica em qualquer base de V.
Formas quadráticas
Dada uma forma bilinear simétrica , definimos uma função , definida por , chamada de forma quadrática associada à forma bilinear g.
Note que:
Fórmulas de polarização
As fórmulas de polarização permitem que, dada a forma quadrática f, se descubra a forma bilinear g que a originou. Eis duas dessas fórmulas: