Álgebra linear/Formas bilineares e quadráticas: mudanças entre as edições
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Linha 15: | Linha 15: | ||
* <math>g(u, \lambda v) = \lambda g(u, v)</math> | * <math>g(u, \lambda v) = \lambda g(u, v)</math> | ||
</div></div> | </div></div> | ||
===Exemplos | {{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto= | ||
;Exemplos: | |||
* Produto interno em um espaço vetorial real; | * Produto interno em um espaço vetorial real; | ||
* <math>f: V \times V \rightarrow K</math>, tal que <math>f(u,v) = 0, \forall u, v \in V</math>. | * <math>f: V \times V \rightarrow K</math>, tal que <math>f(u,v) = 0, \forall u, v \in V</math>. | ||
;Contra-exemplos: | |||
* Produto interno em um espaço vetorial complexo; | * Produto interno em um espaço vetorial complexo; | ||
* <math>f: V \times V \rightarrow K</math>, tal que <math>f(u,v) = 3, \forall u, v \in V</math>; | * <math>f: V \times V \rightarrow K</math>, tal que <math>f(u,v) = 3, \forall u, v \in V</math>; | ||
}} | |||
===Matriz associada a uma forma bilinear=== | ===Matriz associada a uma forma bilinear=== |
Edição das 18h54min de 5 de dezembro de 2007
Formas bilineares
Definição:
Uma função g do produto cartesiano (onde V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K) é dita bilinear se, :
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Matriz associada a uma forma bilinear
Sejam uma forma bilinear, e uma base de V. Sejam X e Y dois vetores de V, sob a forma de matriz coluna:
Então:
,
onde A é a matriz associada à forma bilinear g.
A matriz A é dada por:
onde
Formas bilineares simétricas
Uma forma bilinear é dita simétrica se
Proposição: é uma forma bilinear simétrica se, e somente se, a matriz associada à forma bilinear é simétrica em qualquer base de V.
Formas quadráticas
Dada uma forma bilinear simétrica , dizemos que a função , definida por , é a forma quadrática associada à forma bilinear g.
Note que:
Fórmulas de polarização
As fórmulas de polarização permitem que, dada a forma quadrática f, se descubra a forma bilinear g que a originou. Eis duas dessas fórmulas: