Álgebra linear/Formas bilineares e quadráticas: mudanças entre as edições
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==Formas bilineares== | ==Formas bilineares== | ||
{{Definição | |||
|Uma função ''g'' do produto cartesiano <math>V \times V \rightarrow K</math> (onde ''V'' é um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo ''K'') é dita '''bilinear''' se, <math>\forall u, v, w \in V, \lambda \in K</math>: | |||
* <math>g(u + v, w) = g(u,w) + g(v,w)</math> | * <math>g(u + v, w) = g(u,w) + g(v,w)</math> | ||
* <math>g(\lambda u, v) = \lambda g(u,v)</math> | * <math>g(\lambda u, v) = \lambda g(u,v)</math> | ||
* <math>g(u, v + w) = g(u, v) + g( | * <math>g(u, v + w) = g(u, v) + g(u, w)</math> | ||
* <math>g(u, \lambda v) = \lambda g(u, v)</math> | * <math>g(u, \lambda v) = \lambda g(u, v)</math> | ||
}} | |||
===Exemplos | {{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto= | ||
;Exemplos: | |||
* Produto interno em um espaço vetorial real; | * Produto interno em um espaço vetorial real; | ||
* <math>f: V \times V \rightarrow K</math>, tal que <math>f(u,v) = 0, \forall u, v \in V</math>. | * <math>f: V \times V \rightarrow K</math>, tal que <math>f(u,v) = 0, \forall u, v \in V</math>. | ||
;Contra-exemplos: | |||
* Produto interno em um espaço vetorial complexo; | * Produto interno em um espaço vetorial complexo; | ||
* <math>f: V \times V \rightarrow K</math>, tal que <math>f(u,v) = 3, \forall u, v \in V</math>; | * <math>f: V \times V \rightarrow K</math>, tal que <math>f(u,v) = 3, \forall u, v \in V</math>; | ||
}} | |||
===Matriz associada a uma forma bilinear=== | ===Matriz associada a uma forma bilinear=== | ||
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===Formas bilineares simétricas=== | ===Formas bilineares simétricas=== | ||
{{Definição | |||
Uma forma bilinear <math>g: V \times V \rightarrow K</math> é dita '''simétrica''' se <math>g(u, v) = g(v, u)</math> | |Uma forma bilinear <math>g: V \times V \rightarrow K</math> é dita '''simétrica''' se <math>g(u, v) = g(v, u)</math> | ||
}} | |||
'''Proposição''': <math>g: V \times V \rightarrow K</math> é uma forma bilinear simétrica se, e somente se, a matriz associada à forma bilinear é simétrica em qualquer base de ''V''. | '''Proposição''': <math>g: V \times V \rightarrow K</math> é uma forma bilinear simétrica se, e somente se, a matriz associada à forma bilinear é simétrica em qualquer base de ''V''. | ||
==Formas quadráticas== | ==Formas quadráticas== | ||
{{Definição | |||
Dada uma forma bilinear simétrica <math>g: V \times V \rightarrow K</math>, | |Dada uma forma bilinear simétrica <math>g: V \times V \rightarrow K</math>, dizemos que a função <math>f: V \rightarrow K</math>, definida por <math>f(v) = g(v, v)</math>, é a '''forma quadrática''' associada à forma bilinear ''g''. | ||
}} | |||
Note que: | Note que: | ||
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* <math>g(u, v) = \frac{1}{4}\left(f(u+v) - f(u-v)\right)</math> | * <math>g(u, v) = \frac{1}{4}\left(f(u+v) - f(u-v)\right)</math> | ||
* <math>g(u, v) = \frac{1}{2}\left(f(u+v) - f(u) -f(v)\right)</math> | * <math>g(u, v) = \frac{1}{2}\left(f(u+v) - f(u) -f(v)\right)</math> | ||
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Edição atual tal como às 22h42min de 4 de março de 2018
Formas bilineares
- Definição
Uma função g do produto cartesiano (onde V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K) é dita bilinear se, :
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Matriz associada a uma forma bilinear
Sejam uma forma bilinear, e uma base de V. Sejam X e Y dois vetores de V, sob a forma de matriz coluna:
Então:
,
onde A é a matriz associada à forma bilinear g.
A matriz A é dada por:
onde
Formas bilineares simétricas
- Definição
Uma forma bilinear é dita simétrica se
Proposição: é uma forma bilinear simétrica se, e somente se, a matriz associada à forma bilinear é simétrica em qualquer base de V.
Formas quadráticas
- Definição
Dada uma forma bilinear simétrica , dizemos que a função , definida por , é a forma quadrática associada à forma bilinear g.
Note que:
Fórmulas de polarização
As fórmulas de polarização permitem que, dada a forma quadrática f, se descubra a forma bilinear g que a originou. Eis duas dessas fórmulas: