Álgebra linear/Formas bilineares e quadráticas: mudanças entre as edições
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* <math>g(u + v, w) = g(u,w) + g(v,w)</math> | * <math>g(u + v, w) = g(u,w) + g(v,w)</math> | ||
* <math>g(\lambda u, v) = \lambda g(u,v)</math> | * <math>g(\lambda u, v) = \lambda g(u,v)</math> | ||
* <math>g(u, v + w) = g(u, v) + g( | * <math>g(u, v + w) = g(u, v) + g(u, w)</math> | ||
* <math>g(u, \lambda v) = \lambda g(u, v)</math> | * <math>g(u, \lambda v) = \lambda g(u, v)</math> | ||
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===Fórmulas de polarização=== | ===Fórmulas de polarização=== | ||
As '''fórmulas de polarização''' permitem que, dada a forma quadrática ''f'', se descubra a forma bilinear ''g'' que a originou. Eis duas dessas fórmulas: | As '''fórmulas de polarização''' permitem que, dada a forma quadrática ''f'', se descubra a forma bilinear ''g'' que a originou. Eis duas dessas fórmulas: | ||
* <math>g(u, v) = \frac{1}{4}\left(f(u+v) - f(u-v)\right)</math> | * <math>g(u, v) = \frac{1}{4}\left(f(u+v) - f(u-v)\right)</math> |
Edição atual tal como às 22h42min de 4 de março de 2018
Formas bilineares
- Definição
Uma função g do produto cartesiano (onde V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K) é dita bilinear se, :
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Matriz associada a uma forma bilinear
Sejam uma forma bilinear, e uma base de V. Sejam X e Y dois vetores de V, sob a forma de matriz coluna:
Então:
,
onde A é a matriz associada à forma bilinear g.
A matriz A é dada por:
onde
Formas bilineares simétricas
- Definição
Uma forma bilinear é dita simétrica se
Proposição: é uma forma bilinear simétrica se, e somente se, a matriz associada à forma bilinear é simétrica em qualquer base de V.
Formas quadráticas
- Definição
Dada uma forma bilinear simétrica , dizemos que a função , definida por , é a forma quadrática associada à forma bilinear g.
Note que:
Fórmulas de polarização
As fórmulas de polarização permitem que, dada a forma quadrática f, se descubra a forma bilinear g que a originou. Eis duas dessas fórmulas: