Cálculo (Volume 3)/Seqüências numéricas infinitas: mudanças entre as edições
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Sejam <math>\{a_n\}, \{b_n\}</math> duas seqüências convergentes, isto é, <math>\lim_{n \to \infty} a_n = A</math> e <math>\lim_{n \to \infty} b_n = B</math>. | Sejam <math>\{a_n\}, \{b_n\}</math> duas seqüências convergentes, isto é, <math>\lim_{n \to \infty} a_n = A</math> e <math>\lim_{n \to \infty} b_n = B</math>. | ||
Então: | |||
* <math>\lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = A + B</math> | |||
* <math>\lim_{n \to \infty} k\cdot(a_n) = k \! \cdot \! A</math> | |||
* <math>\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B</math> | |||
* <math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}, \quad B \ne 0</math> | |||
===Subseqüências=== | ===Subseqüências=== |
Edição das 00h02min de 19 de fevereiro de 2005
Seqüências numéricas infinitas
Definição: Uma seqüência é uma função onde o domínio é e cuja imagem é ou .
Notações:
1 2 3 4
OBS.: Utilizaremos mais a notação 4
OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação
Limite de uma seqüência
Definição: Dada uma seqüência , dizemos que o número é o limite de para se, > 0, tal que < .
Definição: Se a seqüência tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge.
Propriedades de seqüências
Sejam duas seqüências convergentes, isto é, e . Então:
Subseqüências
Definição: Dada uma seqüência , as restrições de a subconjuntos de serão denominadas subseqüências de .
Teorema: Se , então toda subseqüência de converge para o mesmo limite L.
Teorema: Dada a seqüência , se as subseqüências de ordem par e as subseqüências de ordem ímpar convergem para o mesmo valor L, então converge também para L.
Definição: Dada uma seqüência , temos que:
- l é chamada de cota inferior se
- L é chamada de cota superior se
- é dita limitada se possui cota inferior e cota superior
Observações:
- Se é uma seqüência crescente (), então é uma cota inferior
- Se é uma seqüência decrescente (), então é uma cota superior
- Se é uma seqüência decrescente e seus termos são positivos ( > ), então é limitada,
Teorema: Toda seqüência monótona e limitada é convergente.
Seqüências monótonas e limitadas
Definição: Seja uma seqüência monótona:
- crescente, se
- decrescente, se