Cálculo (Volume 3)/Seqüências numéricas infinitas: mudanças entre as edições
imported>Marcos Antônio Nunes de Moura |
imported>Abacaxi Sem resumo de edição |
||
(10 revisões intermediárias por 6 usuários não estão sendo mostradas) | |||
Linha 1: | Linha 1: | ||
{{fusão|Cálculo (Volume 3)/Sequências numéricas infinitas}} | |||
<div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV'''''</div> | <div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV'''''</div> | ||
'''Definição''': Uma seqüência (em Portugal diz-se sucessão) é uma função onde o domínio é <math>\Z_+^* \,\!</math> e cuja imagem é <math>\R \,\!</math> ou <math>\Z \,\!</math>. | |||
<math>f: \Z_+^* \rightarrow \R</math> | |||
''' | É uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma seqüência é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos). | ||
<math> | |||
A seqüência dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., ''n'' - 1, ''n'', ''n'' + 1, ... Cada número é um termo, com ''n'' sendo o ''enésimo'' termo. Denota-se a seqüência por: | |||
{''a''<sub>''n''</sub>}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, ''a''<sub>1</sub> é 1, ''a''<sub>317</sub> é 317, e ''a''<sub>''n''</sub> é ''n''. | |||
A seqüência também é indicada por: ''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>, ... Os termos da seqüência fazem parte de um conjunto comumente indicado por '''S'''; Eles são uma '''seqüência em S'''. | |||
Uma seqüência pode ter um número ''finito'' ou ''infinito'' de termos; portanto, pode ser uma ''seqüência finita'' ou uma ''seqüência infinita''. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma seqüência infinita. seqüências infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência. | |||
Formalmente, uma seqüência pode ser definida como uma função de <math>\mathbb{N}</math> (o conjunto dos números naturais) em '''S'''. | |||
Se ''S'' for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma seqüência inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma seqüência polinomial. | |||
Uma ''subseqüência'' de uma seqüência ''S'' é formada removendo-se alguns elementos de ''S'' sem mudar a posição relativa dos elementos restantes. | |||
Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo ''recursivo''. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da [[w:Seqüência de Fibonacci|seqüência de Fibonacci]]. | |||
A soma de uma seqüência é chamada de série matemática. Por exemplo: | |||
:<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{2^n-1}{2^{n-1}} </math> | |||
'''Notações''': | '''Notações''': | ||
Linha 18: | Linha 36: | ||
OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação | OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação | ||
==Representação== | |||
Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, seraparados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula). Exemplos: | |||
<math>\,\!P.a.(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)</math> | |||
<math>\,\!P.g.(1;0,5;0,25;0,125;0,0625;0,03125;0,015625;...)</math> | |||
==Fórmula do termo geral== | |||
[[Imagem:Sucesión aritmética.png|thumb|250px|Uma progressão aritmética.]] | |||
Por vezes, uma sequência possui um padrão que permite criar uma fórmula do termo geral. É uma equação fundamental que determina os termos da sequência. | |||
Em uma progressão aritmética, por exemplo, a fórmula do termo geral é: | |||
<math>a_n=a_1+(n-1).r\,\!</math> | |||
==Limite de uma seqüência== | |||
'''Definição''': Dada uma seqüência <math>{a_n} \,\!</math>, dizemos que o número <math>L \in \ | '''Definição''': Dada uma seqüência <math>{a_n} \,\!</math>, dizemos que o número <math>L \in \R \,\!</math> é o limite de <math>{a_n} \,\!</math> para <math>n \rightarrow +\infty \,\!</math> se, <math>\forall \quad \varepsilon \,\!</math> > 0, <math>\exists N \,\!</math> tal que <math>n \ge N \Rightarrow |a_n - L| \,\!</math> < <math>\epsilon \,\!</math>. | ||
'''Definição''': Se a seqüência <math>{a_n} \,\!</math> tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge. | '''Definição''': Se a seqüência <math>{a_n} \,\!</math> tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge. | ||
==Propriedades de seqüências== | |||
Sejam <math>\{a_n\}, \{b_n\}</math> duas seqüências convergentes, isto é, <math>\lim_{n \to \infty} a_n = A</math> e <math>\lim_{n \to \infty} b_n = B</math>. | Sejam <math>\{a_n\}, \{b_n\}</math> duas seqüências convergentes, isto é, <math>\lim_{n \to \infty} a_n = A</math> e <math>\lim_{n \to \infty} b_n = B</math>. | ||
Linha 35: | Linha 67: | ||
* <math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}, \quad B \ne 0</math> | * <math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}, \quad B \ne 0</math> | ||
==Subseqüências== | |||
'''Definição''': Dada uma seqüência <math>f: \ | '''Definição''': Dada uma seqüência <math>f: \Z_+^* \rightarrow \R</math>, as restrições de <math>f</math> a subconjuntos de <math>\Z_+^*</math> serão denominadas subseqüências de <math>f</math>. | ||
'''Teorema''': Se <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, então toda subseqüência de <math>\{a_n\}</math> converge para o mesmo limite L. | '''Teorema''': Se <math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, então toda subseqüência de <math>\{a_n\}</math> converge para o mesmo limite L. | ||
Linha 57: | Linha 89: | ||
'''Teorema''': Toda seqüência monótona e limitada é convergente. | '''Teorema''': Toda seqüência monótona e limitada é convergente. | ||
==Seqüências monótonas e limitadas== | |||
'''Definição''': Seja <math>\{a_n\}</math> uma seqüência monótona: | '''Definição''': Seja <math>\{a_n\}</math> uma seqüência monótona: | ||
Linha 64: | Linha 96: | ||
* '''decrescentes''', se <math>a_n \ge a_{n+1}</math> | * '''decrescentes''', se <math>a_n \ge a_{n+1}</math> | ||
{{AutoCat}} |
Edição atual tal como às 13h58min de 19 de fevereiro de 2013
Definição: Uma seqüência (em Portugal diz-se sucessão) é uma função onde o domínio é e cuja imagem é ou .
É uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma seqüência é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos).
A seqüência dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., n - 1, n, n + 1, ... Cada número é um termo, com n sendo o enésimo termo. Denota-se a seqüência por: {an}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, a1 é 1, a317 é 317, e an é n.
A seqüência também é indicada por: a0, a1, a2, ..., an, ... Os termos da seqüência fazem parte de um conjunto comumente indicado por S; Eles são uma seqüência em S.
Uma seqüência pode ter um número finito ou infinito de termos; portanto, pode ser uma seqüência finita ou uma seqüência infinita. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma seqüência infinita. seqüências infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência.
Formalmente, uma seqüência pode ser definida como uma função de (o conjunto dos números naturais) em S.
Se S for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma seqüência inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma seqüência polinomial.
Uma subseqüência de uma seqüência S é formada removendo-se alguns elementos de S sem mudar a posição relativa dos elementos restantes.
Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo recursivo. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da seqüência de Fibonacci.
A soma de uma seqüência é chamada de série matemática. Por exemplo:
Notações:
1 2 3 4
OBS.: Utilizaremos mais a notação 4
OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação
Representação
Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, seraparados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula). Exemplos:
Fórmula do termo geral
Por vezes, uma sequência possui um padrão que permite criar uma fórmula do termo geral. É uma equação fundamental que determina os termos da sequência.
Em uma progressão aritmética, por exemplo, a fórmula do termo geral é:
Limite de uma seqüência
Definição: Dada uma seqüência , dizemos que o número é o limite de para se, > 0, tal que < .
Definição: Se a seqüência tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge.
Propriedades de seqüências
Sejam duas seqüências convergentes, isto é, e . Então:
Subseqüências
Definição: Dada uma seqüência , as restrições de a subconjuntos de serão denominadas subseqüências de .
Teorema: Se , então toda subseqüência de converge para o mesmo limite L.
Teorema: Dada a seqüência , se as subseqüências de ordem par e as subseqüências de ordem ímpar convergem para o mesmo valor L, então converge também para L.
Definição: Dada uma seqüência , temos que:
- l é chamada de cota inferior se
- L é chamada de cota superior se
- é dita limitada se possui cota inferior e cota superior
Observações:
- Se é uma seqüência crescente (), então é uma cota inferior
- Se é uma seqüência decrescente (), então é uma cota superior
- Se é uma seqüência decrescente e seus termos são positivos ( > ), então é limitada,
Teorema: Toda seqüência monótona e limitada é convergente.
Seqüências monótonas e limitadas
Definição: Seja uma seqüência monótona:
- crescente, se
- decrescentes, se