Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas: mudanças entre as edições
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Seja <math>\sum a_n</math> uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência <math>{S_n}</math>, onde | Seja <math>\sum a_n</math> uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência <math>{S_n}</math>, onde | ||
<math>\begin{ | <math>\begin{matrix}{l}S_1 = a_1 \\ S_2 = a_1 + a_2 = S_1 + a_2 \\ S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = S_2 + a_3 \\ \vdots \\ S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = S_{n-1} + a_n \end{matrix}</math> | ||
===Série convergente=== | ===Série convergente=== | ||
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'''Definição''': Seja <math>\sum a_n</math> uma série e <math>{S_n}</math> a sua seqüência de somas parciais. | '''Definição''': Seja <math>\sum a_n</math> uma série e <math>{S_n}</math> a sua seqüência de somas parciais. | ||
1 Se <math>\lim_{n \to \infty} S_n = S, |S| < \infty</math>, a série é dita convergente e tem soma S | 1 Se <math>\lim_{n \to \infty} S_n = S, |S|</math> < <math>\infty</math>, a série é dita convergente e tem soma S | ||
2 Caso contrário, a série diverge | 2 Caso contrário, a série diverge | ||
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A série geométrica: | A série geométrica: | ||
* Converge e tem soma <math>S = \frac{a}{1-r}</math>, se <math>|r| < 1</math>; | * Converge e tem soma <math>S = \frac{a}{1-r}</math>, se <math>|r|</math> < <math>1</math>; | ||
* Diverge, se <math>|r| \ge 1</math>. | * Diverge, se <math>|r| \ge 1</math>. | ||
Edição das 00h11min de 19 de fevereiro de 2005
Séries numéricas infinitas
Definição: Seja uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:
Seqüência das somas parciais
Seja uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência , onde
Série convergente
Definição: Seja uma série e a sua seqüência de somas parciais.
1 Se < , a série é dita convergente e tem soma S 2 Caso contrário, a série diverge
Critério do termo geral
Se é uma série convergente, então
Teste da divergência
Se , então a série diverge.
Séries geométricas
São séries do tipo .
A série geométrica:
- Converge e tem soma , se < ;
- Diverge, se .
Propriedades de séries
1 Sejam e duas séries convergentes. Então = converge 2 Se converge(diverge), então converge(diverge) 3 Se converge e diverge, então diverge 4 Sejam as séries e tais que a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento