Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas: mudanças entre as edições
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Seja <math>\sum a_n</math> uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência <math>{S_n}</math>, onde | Seja <math>\sum a_n</math> uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência <math>{S_n}</math>, onde | ||
: <math>S_1 = a_1</math> | |||
: <math>S_2 = a_1 + a_2 = S_1 + a_2</math> | |||
: <math>S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = S_2 + a_3</math> | |||
: <math>\vdots</math> | |||
: <math>S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = S_{n-1} + a_n</math> | |||
===Série convergente=== | ===Série convergente=== | ||
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'''Definição''': Seja <math>\sum a_n</math> uma série e <math>{S_n}</math> a sua seqüência de somas parciais. | '''Definição''': Seja <math>\sum a_n</math> uma série e <math>{S_n}</math> a sua seqüência de somas parciais. | ||
* Se <math>\lim_{n \to \infty} S_n = S, |S|</math> < <math>\infty</math>, a série é dita convergente e tem soma S | |||
* Caso contrário, a série diverge | |||
===Critério do termo geral=== | ===Critério do termo geral=== | ||
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===Propriedades de séries=== | ===Propriedades de séries=== | ||
* Sejam <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_n</math> duas séries convergentes. Então <math>\sum (a_n \pm b_n)</math> = <math>\sum a_n \pm \sum b_n</math> converge | |||
* Se <math>\sum a_n</math> converge(diverge), então <math>\sum k\cdot a_n = k\sum a_n</math> converge(diverge) | |||
* Se <math>\sum a_n</math> converge e <math>\sum b_n</math> diverge, então <math>\sum (a_n \pm b_n)</math> diverge | |||
* Sejam as séries <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_k</math> tais que <math>b_k = a_n</math> a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento |
Edição das 00h14min de 19 de fevereiro de 2005
Séries numéricas infinitas
Definição: Seja uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:
Seqüência das somas parciais
Seja uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência , onde
Série convergente
Definição: Seja uma série e a sua seqüência de somas parciais.
- Se < , a série é dita convergente e tem soma S
- Caso contrário, a série diverge
Critério do termo geral
Se é uma série convergente, então
Teste da divergência
Se , então a série diverge.
Séries geométricas
São séries do tipo .
A série geométrica:
- Converge e tem soma , se < ;
- Diverge, se .
Propriedades de séries
- Sejam e duas séries convergentes. Então = converge
- Se converge(diverge), então converge(diverge)
- Se converge e diverge, então diverge
- Sejam as séries e tais que a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento